高等数学竞赛试题(含答案)

高等数学竞赛试题3答案一、选择题1.设nnnyzx，且0)(limnnnxy，则nnzlim（C）(A)存在且等于零;(B)存在但不一定等于零；(C)不一定存在；(D)一定不存在.2.设)(xf是连续函数，)()(xfxF是的原函数，则（A）(A)当)(xf为奇函数时,)(xF必为偶函数；(B)当)(xf为偶函数时,)(xF必为奇函数；(C)当)(xf为周期函数时,)(xF必为周期函数；(D)当)(xf为单调增函数时,)(xF必为单调增函数.3.设0a，)(xf在),(aa内恒有2|)(|0)(xxfxf且，记aadxxfI)(，则有（B）(A)0I;(B)0I;(C)0I;(D)不确定.4.设)(xf有连续导数，且0)0(',0)0(ff，xdttftxxF022)()()(，当0x时，kxxF与)('是同阶无穷小，则k（B）(A)4；(B)3；(C)2；(D)1.5.设0,00,),(2222222yxyxyxyxyxf，则),(yxf在点)0,0(（D）(A)不连续；(B)连续但偏导数不存在；(C)可微；(D)连续且偏导数存在但不可微.6.设kjbjia2,，则以向量a、b为边的平行四边形的对角线的长度为（A）(A)11,3；(B)3,11；(C)10,3；(D)11,2.7.设21LL与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12LL在的内部，若已知2222Lxdxydykxy（k为常数），则有1222Lxdxydyxy（D）(A)等于k；(B)等于k；(C)大于k；(D)不一定等于k，与L2的形状有关.8.设0nnnxa在1x处收敛，则0)1(1nnnxna在0x处（D）二、设)(1lim)(2212Nnxbxaxxxfnnn，试确定a、b的值，使与)(lim1xfx)(lim1xfx都存在.解：当||1x时，221limlim0nnnnxx，故2()fxaxbx；当||1x时，1()fxx112111,1,lim()1,lim(),1(),11,1,1,lim(),lim()1,1xxxxxfxfxababxfxaxbxxxfxabfxabx0a，1b。三、设)()(xfxF是的一个原函数，且1)0(FxxfxF2cos)()(,，求dxxf0|)(|.解：()()Fxfx，()()cos2FxFxx，()()cos2FxFxdxxdx2()sin2FxxC，由(0)1F知1C，()1sin2|cossin|Fxxxx，22|cos2||cossin||()||cossin||()||cossin|xxxfxxxFxxx4004|()|(cossin)(sincos)(21)(12)22.fxdxxxdxxxdx四、设}0,0|),,{(2223azyxaRzyx，S为的边界曲面外侧，计算SzyxdzdxyaxdydzaxI1)(2222解：2221:Szaxy（下侧），2222:0xyaSz（上侧），20S，121112222112()11SSSSSSSSaxdydzxadzdxaa1222112()2()11SSaxdydzxaydzdxaxadVaa432222113142(32)3231111aaaxdVadVaaaaa五、已知10x，13014xx，41312xx，…，4131nnxx，….求证：（1）数列}{nx收敛；（2）}{nx的极限值a是方程0144xx的唯一正根.解一：（1）01nx，33113333111144(4)(4)nnnnnnnnxxxxxxxx2211124nnnnnnxxxxxx1316nnxx21210331616nnnxxxx31431165516nn；又0316nn收敛，10nnnxx收敛，10()nnnxx收敛，又因10nnSxx，故nx收敛。（2）令limnnxa，01nx，0a，且314aa，4410aa，即a是4410xx的根，令4()41fxxx，(0,)x，3()440fxx，(0)1f，lim()xfx，故()0fx根唯一。解二：由已知01x，13010.24xx，23110.24954xx…，33210.24904xx…，由此可见，02xx，13xx（用归纳法证明偶数项单调减少，奇数项单调增加）。设222nnxx，2121nnxx。2223321211144nnnnxxxx，2123332221144nnnnxxxx由01nx知2nx、21nx收敛，令2limnnxa，21limnnxb；由201nx，2101nx，知01a，01b。对232114nnxx两边取极限得314ab，341aba①对213214nnxx两边取极限得314ba，341abb②由①—②得22()4()0abbaab，解得0ab由ab知nx收敛，且为方程4410xx的根（再证唯一性）。六、设),(yxf在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：220lim2(0,0)Dffxyxydxdyfxy,其中D为圆环域：1222yx解一：令cosxr，cosyr，cossinffxfyffrxryrxy，fffrxyrxy。由已知当1r时，(cos,sin)0f，222xyDDfrxfyfrIdxdyrdrdxyr212100(cos,sin)|fddrfrrdr2200(cos,sin)(cos,sin)fdfd**02(cos,sin)f，*[0,2]，故0lim2(0,0)If解二：令22(,)yfxyPxy，22(,)xfxyQxy，22ffxyQPxyxyxy22Dffxyxydxdyxy，令1L为221xy（逆时针），2L为222xy（顺时针）12LLPdxQdyPdxQdy2:cos,sinLxy122222(,)(,)(,)(,)LLyfxydxxfxydyyfxydxxfxydyxyxy1221(,)(,)(,)(,)LLyfxydxxfxydyyfxydxxfxydy02210(sin)(sin)coscos(cos,sin)fd20(cos,sin)fd**02lim(cos,sin)f，*[0,2]**2200lim2lim(cos,sin)2(0,0)Dffxyxydxdyffxy。七、有一圆锥形的塔，底半径为R，高为)(Rhh，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于xoy平面的直线的夹角为4，楼梯入口在点(,0,0)R,试求楼梯曲线的方程.解：设曲线上任一点为(,,)xyz，hzrhR，曲线参数方程为（*）()cos()sin(02)()xryrhzhrR，在点(,,)xyz的切向量为(),(),()vxyz，垂线方向向量为(0,0,1)k。()()cos()sin()()sin()cos()()xrryrrhzrR，222()cos4||||()()()vkzvkxyz，22222()12()()()hrRhrrrR，化简得22drRrdhR，由实际问题应0drd，解得221RhRrCe，由0，rR得1CR，故22ReRhRr，将此式代入参数方程（*）即得楼梯曲线。