华南理工大学高等数学 97届 统考卷下

1614592018994共5页第1页1997等数学下册统考试卷及解答一、试解下列各题1、[4分]设kjbjia2,，求以向量ba,为边的平行四边形的长度。解：23,3abijkijkab23311,11abijkijkab2、[4分]在曲线323,2,tztytx上求点，使该点处曲线的切线平行于平面1478zyx解：设所求的点对应的参数为0tt，则切向量为2001,4,9stt由已知条件，有22000001,4,98,7,4828360,1snttttt或029t从所求的点为1,2,3或288,,9812433、[4分]计算2110sin()xyexIdxdyxyzdz解：201111111111ln1cos()ln2exexeexxyxIdxxyzdydxdyydxdxxyxyxx4、[4分]求微分方程xeyyy2344的一个特解。解：特征方程212440,2rrrr23,0,2,2xfxenk设*22xyAxe，代入定出*2233,22xAyxe二、试解下列各题1、[5分]设有级数1)2(nnnxa，问“级数既在0x处收敛，又要在3x处发散”是否可能？为什么？答：不可能。因为收敛中心位于2处，由阿贝尔定理，1)2(nnnxa在0x处收敛，而3202，在3x应绝对收敛，不可能发散。1614592018994共5页第2页2、[5分]设yxzln2，而vuyvux3,，求vzuz,解：22222ln3132ln33uuvzfxfyxuxyuxuyuvyvvuv2222322ln32ln13uuvzfxfyuxuxyvxvyvvyvvuv3、[5分]计算曲线积分Ldyxydxyx)2()2(22，式中L是点)0,0(沿2:21xyL至点)2,2(A，再由A沿2:22yxL回到点O的闭回路。解：令222,2PxyQyx，这里2,2yxPyQx两者不等曲线21:,,:022xLydyxdxx，22:,,:202yLxdxydyy12222222(2)(2)(2)(2)(2)(2)LLLxydxyxdyxydxyxdyxydxyxdy2044222202(2)()()(2)44xyxdxxxxdxyyydyydy2055220202020xyxy4、求微分方程0)124()122(dyxydxyx的通解解：令221,421,2,2yxPxyQyxPQ连续且相等所以2200(201)(421)22yxuxdxyxdyxxyxyy所以通解为2222xxyxyyc三、试解下列各题1、[6分]计算二重积分Ddxdyyx)sin(22，其中积分区域D为0,0,422yxyx解：0,0,422yxyx转化为极坐标1614592018994共5页第3页即为24,cos0,sin0;02,02rrrr2222200sin()sin(1cos4)4Dxydxdydrrdr2、[6分]计算dxdydzzyxI)(，其中积分区域是由ax0，by0，cz0所确定。解：2200000000()22cabcababzcIdxdyxyzdzdxxzyzdydxxcycdy2200222baycabcxcycydxabc3、[6分]判别级数111nnn是否收敛，若收敛求其和。解：11,111212111nnunnSnnnnnlimnnS，由定义知其发散。（也可以用比较法判定11121nnn）四、[8分]在对角线为常数d的长方体中，求其体积为最大的长方体的边长。解：设uxyz且满足2222xyzd作2222Lxyzxyzd222220202,2030xyzLyzxLxzyyzxzxydxyzLxyzxyzLxyzd由实际问题及其在定义与内的驻点的唯一性可知体积为最大的长方体的边长均为3d五、设20,402,)(22xxxxxf，写出)(xf以4为周期的傅立叶级数的和函数)(xs在]2,2[上的表达试。1614592018994共5页第4页解：由收敛定理知22,20()4,0204,0,22xxSxxxx六、[8分]确定级数11nnnxx的收敛域（1x）解：111111limlimlim11nnnnnnnnnnnxuxxxxxuxxx当1x时1lim1nnnxuxu，级数收敛当1x时1lim0nnnxuxu，级数发散从而收敛域为1,1七、[8分]（1）若0)()(yxQyxPy有一特解xey，则0)()(1xQxP；若0)()(xxQxP，证明0)()(yxQyxPy有一特解xy。（2）根据上面结论，求0)1(yyxyx满足初始条件1)0(,2)0(yy的特解。解：（1）xey代入方程0)()(yxQyxPy，即有1()()0xePxQx，则0)()(1xQxP；xy代入方程0)()(yxQyxPy即0)()(xxQxP。（2）方程改写为110,,1111xxyyyPQxxxx，容易检验满足（1）的条件，从而有特解12,xyeyx，而12xyecyx常数，由解的结构定理故有通解12xycecx，再由初始条件1)0(,2)0(yy可定出212122,1,1,2ccccc的特解2xyex。八、[8分]计算dxdyzdzdxydydzx222，是抛物面22yxz被平面1z所截下的有限部分的下侧。解：由对称性220xdydzydzdx1614592018994共5页第5页2122224003DIzdxdyxydxdydrrdr另解：令1:1z取上侧11222221DIxdydzydzdxzdxdyxyzdvdxdy2222112222DDxyxyzdxdyxyzdzxyzdxdy222221222Dxyxyxyxydxdy2221200122cossincossin2233rdrrrrrrdr九、[6分]设),(yxf具有一阶连续偏导数，且022yxff，对任意实数t有),(),(yxtftytxf，试证明曲面),(yxfz上任意一点),,(000zyx处的法与直线000zzyyxx相垂直。解：（分析）022yxff，即,xyff不同时为零，其中000,,sxyz，而,,1xynff，要证0000000000,,1,,,,0xyxynsffxyzxfxyyfxyz证明：将),(),(yxtftytxf对t求导(,)(,)(,)txtyxftxtyyftxtyfxy对任何t都成立，所以可以取1t从而有(,)(,)(,)xyxfxyyfxyfxyz以000(,)zfxy代入即有0000000000,,,,1,,0xyxyxfxyyfxyzffxyzns即得证。