大学课件-概率论之习题

1概率论例题例1.设某班车起点站上车人数X服从参数为（0）的泊松分布，并且中途不再有人上车。而车上每位乘客在中途下车的概率为p)1p0(,且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数。试求（1）（X,Y）的联合概率分布律；（2）求Y的分布律（列）。解：X可能的取值是0，1，2，…..，k，…，n，...P{X=k}=!kekY可能的取值是0，1，2，…，r，…，kP{x=k,y=r}=P{x=k}P{y=r/x=k}=!kekrkrrkqpCr=0,1,2,…,k当rk时，P{x=k,y=r}=0,Y的边缘分布P{Y=r}=0},{krykxP=0}/{}{kkxryPkxP=rkrkrrkkqpCek!=rkrkrqrrkkkkpe)(!)1()1(!1)(=rkrkrrqrkrpe)()!(1!1)(=rqrerpe!1)(=rprerp!)(r=0,1,2,…,验证Y的分布律0}{rryP=1？例2.设服从N(0,1),求2的分布密度。解因为只取非负值，所以当0y时，2()()()0FyPyPy当0y时22()()()()FyPyPyPyy2222012()22ttyyyyytdtedtedt22002111222uuyyedueduuu所以2011,0()20,0uyeduyFyuy1221,0()20,0yeyyyy例3.在一个人数很多的团体中普查某种疾病,为此要抽验N个人的血,可以用两种方法进行.(i)将每个人的血分别去验,这就需验N次.(ii)按k个人一组进行分组,把从k个人抽来的血混合在一起进行检验,如果这混合血液呈阴性反应,就说明k个人的血都呈阴性反应,这样,k个人的血就只需验一次.若呈阳性,则再对这k个人的血液分别进行化验.这样,k个人的血总共要化验是1k次.假设每个人化验呈阳性的概率为p,且这些人的试验反应是相互独立的.试说明当p较小时,选取适当的k,按第二种方法可以减少化验的次数.并说明k取什么值时最适宜.解各人的血呈阴性反应的概率为1qp.因而k个人的混合血呈阴性反应的概率为kq,k个人的混合血呈阳性反应的概率为1-kq.设以k个人为一组时,组内每人化验的次数为X,则X是一个随机变量,其分布律为11(),()1.kkkPXqPXqkkX的数学期望为111()(1)(1)1.kkkEXqqqkkkN个人平均需化验的次数为1(1)kNqk.由此可知，只要选择k使111kqk,则N个人平均需化验的次数N.当p固定时,我们选取k使得11kLqk小于1且取到最小值,这时就能得到最好的分组方法.例如,0.1p,则0.9q,当4k时,11kLqk取到最小值.此时得到最好的分组方法.若1000N,此时以4k分组,则按第二方案平均只需化验3411000(10.9)594()4次.这样平均来说,可以减少40%的工作量.例4.按规定，某车站每天8：00-9：00，9：00-10：00都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间相互独立.其规律为到站时间8：109：108：309：308：509：50概率616362一旅客8：20到车站，求他候车时间的数学期望.解设旅客的候车时间为X（以分计）.X的分布律为X1030507090pk6362116613661266在上表中，例如13{70}()()(),66PXPABPAPB其中A为事件“第一班车在8：10到站”，B为“第二班车在9：30到站”.候车时间的数学期望为32132()10+30+50+70+90=27.2266363636EX（分）.例5.某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式.记使用寿命为X（以年计），规定：1X≤，一台付款1500元；12X≤,一台付款2000元；23X≤,一台付款2500元；3X，一台付款3000元.设寿命X服从指数分布，概率密度为101,0()100,0xexfxx≤试求该商店对上述家电收费（Y元）的数学期望.解先求出寿命X落在各个时间区间的概率，即有1/100.101{1}d10.0952,10xPXexe≤20.20.31011{12}d0.086110xPXexee≤,43/100.20.321{23}d0.077910xPXexee≤,0.31031{3}d0.0740810xPXexe.一台收费Y的分布律为X1500200025003000pk0.09520.08610.07790.7408得()2732.15EX,即平均一台收费2732.15元.□例6max,MXY及min,NXY的分布设,XY是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为XFx和YFy.现在来求max,MXY及min,NXY的分布函数.由于max,MXY不大于z等价与X和Y不大于z，故有,PMzPXzYz≤≤≤.又由于X和Y相互独立，得到max,MXY的分布函数为max,FzPMzPXzYzPXzPYz≤≤≤≤≤即有maxXYFzFzFz.类似地，可得到min,NXY的分布函数为min11,1FzPNzPNzPXzYzPXzPYz≤.即min111XYFzFzFz.例7.有2个相互独立工作的电子装置,它们的寿命(1,2)kXk服从同一指数分布,其概率密度为1,0()0.0,0xexfxx，≤，若将这2个电子装置串联联接组成整机,求整机寿命(以小时计)N的数学期望.解(1,2)kXk的分布函数为1,0,()0,0.xexFxx≤由第三章§5(5.8)式12min(,)NXX的分布函数为22min1,0()1[1()]0,0xexFxFxx≤因而N的概率密度为52min,0()20,0xexfxx≤于是N的数学期望为2/min02()()dd2xxENxfxxex.例8.一民航机场的送客车载有20位旅客，自机场开出，旅客有10个站可以下车。如果到达一个车站没有人下车则不停车。以X表示停车的次数，求EX（设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立）。解引人随机变量0,1,2,,10.1,iiXii在第站没有人下车，在第站有人下车，易知1210.XXXX现在来求()EX.按题意,任一旅客在第i站不下车的概率为109,因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(109)20,在第i站有人下车的概率为1－(109)20，也就是202099{0}(),{1}1(),1,2,,10.1010iiPXPXi由此209()1(),1,2,10.10iEXi进而1210()()EXEXXX121020()()()910[1()]8.784().10EXEXEX次