华南理工大学高等数学统考试卷下07期中卷答案

共5页第1页2007-2008高等数学下册期中考试试卷姓名：班级：成绩单号：一、填空题（45）1、[4分]与直线112211zyx及112xytzt都平行，且过原点的平面方程为0xyz2、[4分]设,,sin,arctan,,zfuvuxyvyfuv可微，则,zzxy各为2112cos,cos1fyfxyxfxyy3、[4分]设2xyue，则2uxy2221xyxxye4、[4分]设函数uxxyxyz在点1,2,0的所有方向导数中，最大的方向导数是沿方向1,4,05、[4分]曲面1xyyzzx在点3,1,2处的切平面方程为5220xyz，法线方程为312152xyz二、（8分）设arctan1xyzxy，求1,3dz解：222222111ydxxdydzxyxy，1,324dxdydz三、（8分）设(,)fst具有连续的偏导数，且(,)0fst，方程(,)0yzfxx确定共5页第2页了z是,xy的函数，试求zzxyxy解：12220xdyydxxdzzdxffxx，解出1212yfzfdxxfdydzxf从而zzxyzxy四、[8分]求函数2223uxyzz在点01,1,2M的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数解：02,2,23,2,2,1Mgraduxyzgradu，则沿梯度方向上函数的方向导数为02,2,13Mgradu五、[8分]设直线0:30xybLxayz在平面上，而平面与曲面22zxy相切于点1,2,5，求,ab之值。解：由曲面得切平面法向量1,2,52,2,12,4,1xy从而有切平面方程为2450xyz由直线0:30xybLxayz得：3,(1)311yxbxbzbyayzba从而2410,5snaa；240350,2bbb六、[8分]计算二重积分max,1Dxydxdy，其中:02,02Dxy解：用1xy将区域划分为两个共5页第3页122max,111(1)DDDDDxydxdydxdyxydxdydxdyxydxdy22211234(1)414ln24Dxxydxdydxxydy七、[8分]计算212222220010xxdxxxydydxxxydy解：由积分限作出区域图，由图知化为极坐标计算容易原式2422002cos2Dxxydxdydrrrdr八、[8分]计算22Ixydv，其中为平面曲线220yzx绕z轴旋转一周的曲面与平面8z所围的区域。解：由交线2228xyzz知在xoy面上的投影域为22:16Dxy用柱坐标计算2248200210243rIdrrdrdz九、[8分]设由曲面22zxy与222zxy所围成的立体中每点的密度与该点到xoy平面距离成正比，试求该立体的质量M解：由交线22222zxyzxy知在xoy面上的投影域为22:1Dxy用柱坐标计算22120034rrIzdvdrdrzdz十、计算222357xyzdxdydz，其中222:0zRxy解：令22221:xyzR，由对称性共5页第4页原式=11222222135735726xyzdxdydzxyzdxdydz22250005sin22RddrrdrR十一、[8分]在曲线1xyz上求一点0000,,Mxyz，使曲面上过点的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积为最大解：令0000000001111111,,,//,,,1222Fxyznxyzxyzxyz从而切平面为0001xyzxyz，四面体的体积为00016Vxyz问题等价为,,fxyzxyz在10xyz条件下的最大值令,,1Lxyzxyzxyz则由0,0,0222xyzLyzLxzLxyxyz推出，xyz由约束条件1xyz知19xyz由问题的实际意义与驻点的惟一性知，111,,999就是我们要求的点。十二、[附加题5分]计算积分22Cxyds，式中曲线C是22yaxx在02xa上的一段弧。解：曲线C可以表示为1cos,sin,0,xatyatt共5页第5页2222220021cos0sincos2cos42Ctxydsaatatatdtadta十三、[附加题5分]计算积分1dSz，其中是球面2222xyzR被锥面2222Rxyzz所截的部分解：由交线2222222xyzRzxy知曲面在xoy面上的投影域为222:2RDxy222222222222,,,xyxyRdxdyzRxyzzdSRxyRxyRxy22222222220011ln2RDRdxdyRdSdrdrRzRrRxyRxy十四、[附加题10分]计算积分32xyzdS，其中是抛物面222zxy被平面2z所截下的有限部分解：由交线2222zxyz知曲面在xoy面上的投影域为22:4Dxy222222,,,112xyxyxyzzxzydSzzdxdyxydxdy由对称性知3222212xyzdSyzdSxyzdS222222222200205411315DxydSxyxydxdydrrrdr