华南理工大学高等数学统考试卷下册统考试卷及解答 1994

共6页第1页1994高等数学下册统考试卷及解答一、在下列各题的横线上填上最合适的答案（12分）1．与三点)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321MMM决定的平面垂直的单位向量a2,2,31712．设1:22yxL正向一周，则Lxdye2答：2,0xeQP22xxeyPxQDxxxxxLxdxexxdydxxedxdyxedye1111211014222222223．级数12)!()!2(nnxnn的收敛半径R41二、计算下列各题（本大题分4小题，共21分）1．计算二次积分0202drrd解3832030202rdrrd2．设L是连结点)0,3(),1,2(),0,1(CBA的折线，计算曲线积分Ldsyx22解1,010121:xyyxABxyyxBC3,101232:ABBCLdsyxdsyxdsyx222222dxxxdxxx32222122321228262293229621223222123221xxxxdxxdxx3．求微分方程2xdydx满足0)1(y的的特解共6页第2页解,2dyxdxyexccyx)2(,ln)2ln(将1,0yx代入得1,1cc；特解：yex24．设)(2ufxz，而xyu，其中)(uf二阶可导，求yxz2)()(2)()(222ufyuxfxyufxuxfxz)()(1)()(1)(22ufuufxufyufxufxyxz三、证明下列各题（共10分）1．求证：bababa2)(证明：abababaabb2aabaabbbbaabab2．设)(1xy与)(2xy函数都是方程)()()()(21xQyxPyxPyxP的解，试证明函数)()(21xyxy是其对应的齐次方程的解。证明：由已知11121()()()()PxyPxyPxyQx21222()()()()PxyPxyPxyQx两式相减12112212()()()0PxyyPxyyPxyy即)()(21xyxy满足12()()()0PxyPxyPxy，是对应的齐次方程的解四、根据题目要求解答下列各题（共10分）1．写出方程xyyy32的待定特解的形式。（一次，0）解：20121230,310,1,3;,0xrrrrrrfxxPxe不是特征根，*yaxb为方程的待定特解的形式2．①判断11231)1(nnnn的敛散性共6页第3页解：,31231limnnn发散②判断级数11253)22()22)(22(nn的敛散性解：321122nnnuu，1222limlim3211nnnnnuu,1120收敛五、若幂级数1nnnxa的收敛域为]4,4(，写出幂级数112nnnxa的收敛域，并说明理由。解：1nnnxa在4x处收敛，即14nnna，故当4x内，1nnnxa绝对收敛，而级数11212nnnnnnxaxxa，当2x时得14nnna，故当22x时级数112nnnxa收敛。又因当4x时1nnnxa发散，故当42x时112212nnnnnxaxxa综上所述，112nnnxa的收敛域为2,2六、计算dxdydzzyxI2221，其中积分区域是由1,1)1(222zzyx与0y确定解：dddddddIcos2cos140cos2cos1402022sinsinsin1)247(6cos213cos2sincos21cos24034022d七、（1）计算二重积分Dxdxdye2，其中D是第一象限中由直线xy和共6页第4页曲线3xy围成的区域。解：Dxxxxxxdexxdxexdydxedxdye1010102222322)1(21)1(12212121211010102222eedxxeexxxx（2）设),(),(yxFyxfxy连续，求BbAdyyxfdxI),(0AAaAaxxBbxBbAbxFBxFdxbxFBxFdxyxFdyyxFdxI00)],(),([),(),(),(),(),(),(),(),(baFbAFBaFBAF八、计算2,(1)dSxy其中是四面体：0,0,0,1yxzzyx的界面。解：1:,0:,0:,0:4321zyxzyz1111122200001(1)(1)(1)1xyxxDdSdxdydydxdxxyxyxyxy1100111ln1ln22122xdxxx2111122200001(1)(1)(1)1zxzzDdSdzdxdxdzdzxyxxyx110011ln21ln22dzzzz，同理321ln2(1)dSxy对4:1,1,3xyzzxydSdxdy422313ln2(1)(1)2xyDdSdxdyxyxy所以原式13331ln222共6页第5页九、已知物体的散热速率dtdT和它的周围介质的温度差成0TT正比，假设周围介质保持CT200,如一物体由C100冷却到C60须经过20分钟，问需要经过多少时间方可使此物体的温度从开始时C100降到C30?解：20,,20,2020ktktdTdTkTkdtTceTcedtT由于0100,80,2080ktTcTe由20ln22060,602080,20kTek当30T时120302080,,ln83ln2,3ln2608ln2ktkteektt（分钟）十、求点)0,2,1(到曲面02xyz的距离解：设曲面上的点222,,,(1)2xyzdxyz求222(1)2uxyz在条件02xyz下的最小值代2zxy入。得22(1)2uxyxy2(1)00,,02(2)02xyuxyxzuyxy由于驻点惟一，有实际问题可知222(01)2201d即为所要求的十一、判别级数11)1ln()1(nnnn是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：111ln(1)nnnunn因为111ln(1)2nnnn，而112nn发散，所以111ln(1)nnnunn发散但111lim0,ln(1)ln(1)ln(11)1nnnnnnn，原级数满足莱布尼共6页第6页茨收敛条件，从而条件收敛