标题-2018-2019学年高中三维设计一轮复习文数通用版：第八单元---高考研究课(一)--等差数

高考研究课(一)等差数列的3考点——求项、求和及判定[全国卷5年命题分析]考点考查频度考查角度等差数列通项5年6考求通项或某一项等差数列前n项和5年5考求项数、求和等差数列的判定5年2考判断数列成等差数列或求使数列成等差数列的参数值030201题型一等差数列基本量的运算题型三等差数列的性质题型二等差数列的判定与证明目录05课堂真题集中演练06高考达标检测04题型四等差数列前n项和的最值返回等差数列基本量的运算[典例](1)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝()A．5B．5C．7D．8(2)(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1.①求b1，b11，b101；②求数列{bn}的前1000项和．返回[解析](1)法一：由等差数列前n项和公式可得Sn＋2－Sn＝(n＋2)a1＋n＋2n＋12d－na1＋nn－12d＝2a1＋(2n＋1)d＝2＋4n＋2＝36，解得n＝8.法二：由Sn＋2－Sn＝an＋2＋an＋1＝a1＋a2n＋2＝36，因此a2n＋2＝a1＋(2n＋1)d＝35，解得n＝8.答案：D返回(2)①设数列{an}的公差为d，由已知得7＋21d＝28，解得d＝1.所以数列{an}的通项公式为an＝n.b1＝[lg1]＝0，b11＝[lg11]＝1，b101＝[lg101]＝2.②因为bn＝0，1≤n＜10，1，10≤n＜100，2，100≤n＜1000，3，n＝1000，所以数列{bn}的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.返回[方法技巧]等差数列运算的解题思路由等差数列的前n项和公式及通项公式可知，若已知a1，d，n，an，Sn中三个便可求出其余两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．返回[即时演练]1．已知数列{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S6＝4S3，则a10＝()A.172B.192C.910D.89解析：∵S6＝4S3，公差d＝1.∴6a1＋6×52×1＝4×3a1＋3×22×1，解得a1＝12.∴a10＝12＋9×1＝192.答案：B返回2．已知公差不为0的等差数列{an}满足a1，a3，a4成等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，则S4－S2S5－S3的值为()A．－2B．－3C．2D．3解析：设{an}的公差为d，因为a1，a3，a4成等比数列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，可得a1＝－4d，所以S4－S2S5－S3＝a3＋a4a4＋a5＝－3d－d＝3.答案：D返回3．(2018·大连联考)已知等差数列{an}的公差d0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.(1)求d及Sn;(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65.解：(1)由题意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，将a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5.因为d0，所以d＝2.从而an＝2n－1，Sn＝n2(n∈N*)．返回(2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)，所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋11，故2m＋k－1＝13，k＋1＝5，解得m＝5，k＝4.即所求m的值为5，k的值为4.返回等差数列的判定与证明[典例]已知{an}是各项均为正数的等比数列，a11＝8，设bn＝log2an，且b4＝17.(1)求证：数列{bn}是以－2为公差的等差数列；(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的最大值．[思路点拨](1)利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列{bn}是以－2为公差的等差数列；(2)求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可．返回[解](1)证明：设等比数列{an}的公比为q，则bn＋1－bn＝log2an＋1－log2an＝log2an＋1an＝log2q，因此数列{bn}是等差数列．又b11＝log2a11＝3，b4＝17，所以等差数列{bn}的公差d＝b11－b47＝－2，故数列{bn}是以－2为公差的等差数列．(2)由(1)知，bn＝25－2n，则Sn＝nb1＋bn2＝n23＋25－2n2＝n(24－n)＝－(n－12)2＋144，于是当n＝12时，Sn取得最大值，最大值为144.返回[方法技巧]等差数列判定与证明的方法方法解读适合题型定义法对于n≥2的任意自然数，an－an－1为同一常数⇔{an}是等差数列等差中项法2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立⇔{an}是等差数列解答题中证明问题通项公式法an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列前n项和公式法验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列选择、填空题中的判定问题返回[即时演练]1．(2016·浙江高考)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则()A．{Sn}是等差数列B．{S2n}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{d2n}是等差数列返回解析：由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝12×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．故选A.答案：A返回2．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解：(1)设{an}的公比为q.由题设可得a11＋q＝2，a11＋q＋q2＝－6.解得a1＝－2，q＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.返回(2)由(1)可得Sn＝－2×[1－－2n]1－－2＝－23＋(－1)n2n＋13.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－43＋(－1)n2n＋3－2n＋23＝2－23＋－1n2n＋13＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．返回等差数列的性质[典例](1)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为()A．8B．12C．6D．4(2)已知数列{an}，{bn}为等差数列，前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝3n＋22n，则a7b7＝()A.4126B.2314C.117D.116(3)(2018·天水模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.返回[解析](1)由a3＋a6＋a10＋a13＝32，得(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝32，得4a8＝32，即a8＝8，m＝8.(2)因为{an}，{bn}为等差数列，且SnTn＝3n＋22n，所以a7b7＝2a72b7＝a1＋a13b1＋b13＝13a1＋a13213b1＋b132＝S13T13＝3×13＋22×13＝4126.(3)∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，∴40＝10＋S30－30，∴S30＝60.[答案](1)A(2)A(3)60返回[方法技巧]等差数列的性质(1)项的性质在等差数列{an}中，am－an＝(m－n)d⇔am－anm－n＝d(m≠n)，其几何意义是点(n，an)，(m，am)所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；②S2n－1＝(2n－1)an.返回[即时演练]1．(2018·岳阳模拟)在等差数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝()A．95B．100C．135D．80解析：由等差数列的性质可知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8构成新的等差数列，于是a7＋a8＝(a1＋a2)＋(4－1)[(a3＋a4)－(a1＋a2)]＝40＋3×20＝100.答案：B返回2．(2018·广州模拟)已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，12a5，a4成等差数列，则a3＋a5a4＋a6的值是()A.5－12B.5＋12C.3－52D.3＋52解析：设等比数列{an}的公比为q，由a3，12a5，a4成等差数列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝1＋52或q＝1－52(舍去)，所以a3＋a5a4＋a6＝a3＋a3q2a4＋a4q2＝a31＋q2a41＋q2＝1q＝25＋1＝5－12.答案：A返回3．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知SnTn＝7nn＋3，则a10b9＋b12＋a11b8＋b13＝________.解析：∵数列{an}和{bn}都是等差数列，∴a10b9＋b12＋a11b8＋b13＝a10＋a11b9＋b12＝a10＋a11b10＋b11＝S20T20＝7×2020＋3＝14023.答案：14023返回等差数列前n项和的最值等差数列的通项an及前n项和Sn均为n的函数，通常利用函数法或通项变号法解决等差数列前n项和Sn的最值问题．返回[典例]等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a10，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为________．[解析]法一：用“函数法”解题由S3＝S11，可得3a1＋3×22d＝11a1＋11×102d，即d＝－213a1.从而Sn＝d2n2＋a1－d2n＝－a113(n－7)2＋4913a1，因为a10，所以－a1130.故当n＝7时，Sn最大．返回法二：用“通项变号法”解题由法一可知，d＝－213a1.要使Sn最大，则有an≥0，an＋1≤0，即a1＋n－1－213a1≥0，a1＋n－213a1≤0，解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．[答案]7返回[方法技巧]求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)函数法利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)通项变号法①当a10，d0时，满足am≥0，am＋1≤0的项数m使得Sn取得最大值为Sm；②当a10，d0时，满足am≤0，am＋1≥0的项数m使得Sn取得最小值为Sm.返回[即时演练]1．(2018·潍坊模拟)在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为()A．S15B．S16C．S15或S16D．S17解析：∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋10×92d＝20a1＋20×192d，解得d＝－2，∴Sn＝29n＋nn－12×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，Sn取得最大值．答案：A返回2．已知{an}是等差数列，a1＝－26，a8＋a13＝5，当{an}的前n项和Sn取最小值时，n的值为()A．8B．9C．10D．11解析：设数列{an}的公差为d，∵a1＝－26，a8＋a13＝5，∴－26＋7d－26＋12d＝5，解得d＝3，∴Sn＝－26n＋nn－12×3＝32n2－5