新教材人教A版高中数学必修第一册课件5.1.1-任意角

5.1.1任意角必备知识·自主学习导思1.体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”是什么意思？2.任意角可以分为哪几类？3.什么是终边相同的角？1.任意角(1)角的分类类型定义图示正角一条射线绕其端点，按_______方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点，按_______方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转逆时针顺时针(2)本质：将初中所学的锐角、直角、钝角、平角和周角等推广到任意角.(3)应用：可以定义任意的旋转角.2.象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的_________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是___________.如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.终边相同的角(1)定义：所有与角α终边相同的角，连同角α在内.(2)表示：集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}.(3)本质：表示成角α与整数个周角的和.非负半轴第几象限角【思考】反过来，若角α，β满足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}时，角α，β是否是终边相同的角？提示：当角α，β满足S={β|β=α+k·360°，k∈Z}时，表示成角α与β相隔整数个周角，即角α，β终边相同.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)经过1小时，时针转过30°.()(2)终边与始边重合的角是零角.()(3)第二象限的角是钝角.()提示：(1)×，因为是顺时针旋转，所以时针转过-30°.(2)×，终边与始边重合的角是k·360°(k∈Z).(3)×，钝角是第二象限的角，但第二象限角不一定是钝角.2.与45°角终边相同的角是()A.-45°B.225°C.395°D.-315°【解析】选D.与45°角终边相同的角可以表示为45°+k·360°，k∈Z，结合四个选项可以发现只有答案D符合题意.3.(教材二次开发：例题改编)已知0°≤α360°，且α与600°角终边相同，则α=_______，它是第_______象限角.【解析】因为600°=360°+240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°360°，故α=240°，它是第三象限角.答案：240°三关键能力·合作学习类型一任意角的概念及应用(数学抽象)【题组训练】1.(2020·杭州高一检测)下列说法：①终边相同的角必相等；②锐角必是第一象限角；③小于90°的角是锐角；④第二象限的角必大于第一象限的角；⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是第三或第四象限的角，其中错误的是()A.③④⑤B.①③④C.①③④⑤D.②③④⑤2.给出下列四个命题：①-75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第三象限角；④-310°是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是_______.【解析】1.选C.①终边相同的角必相等错误，如0°与360°终边相同，但不相等；②锐角的范围为(0°，90°)，必是第一象限角，正确；③小于90°的角是锐角错误，如负角；④第二象限的角必大于第一象限的角错误，如120°是第二象限角，390°是第一象限角；⑤若角α的终边经过点M(0，-3)，则角α是终边在y轴负半轴上的角，故⑤错误.其中错误的是①③④⑤.2.选C.因为-90°-75°0°，所以-75°是第四象限角，正确；因为180°225°270°，所以225°是第三象限角，正确；因为360°+90°475°360°+180°，所以475°是第二象限角，错误；因为-360°-310°-270°，所以-310°是第一象限角，正确.所以这四个命题中有3个是正确的.3.分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了-120°.答案：-120°【解题策略】根据角的概念解题的关键(1)准确理解各个象限内角的特点，逐个判断所在的象限.(2)钟表的旋转方向都是顺时针方向，所以所得的角应该是负角.【补偿训练】已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，则下面关系正确的是()A.A=B=CB.A⊆CC.A∩C=BD.B∪C⊆C【解析】选D.由已知得B⊆C，所以B∪C=C，故D正确.类型二终边相同的角的表示及应用(直观想象)【典例】写出终边落在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤β720°的元素β写出来.四步内容理解题意条件：角的终边在直线y=x上.结论：①求角的集合；②求适合-360°≤β720°的角.思路探求①在0°～360°内找到终边在y=x上的角；②推广到任意角；③找出-360°≤β720°内的角.四步内容书写表达直线y=x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y=x上的角有两个：45°，225°.①因此，终边在直线y=x上的角的集合：S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°，k∈Z}={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°，k∈Z}={β|β=45°+n·180°，n∈Z}.②所以S中适合-360°≤β720°的元素是：45°-2×180°=-315°；45°-1×180°=-135°；45°+0×180°=45°；45°+1×180°=225°；45°+2×180°=405°；45°+3×180°=585°.注意解题过程的规范性：①终边在直线y=x上注意讨论两种情况.②这种形式的两个集合取并集时合并为一个集合.四步内容题后反思在0°～360°范围内，终边在y=x上的角有两个，这是同学们容易忽视的地方；最后在-360°～720°求角时，要适当选取k的值.【解题策略】(1)一般地，可以将所给的角β化成k·360°+α的形式(其中0°≤α360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止.特别提醒：表示终边相同的角时，k∈Z这一条件不能省略.【跟踪训练】1.(2020·济南高一检测)下列各角中，与角30°终边相同的角是()A.-390°B.-330°C.330°D.570°【解析】选B.与角30°终边相同的角的集合为{α|α=30°+k·360°，k∈Z}，取k=-1，可得α=-330°，所以与角30°终边相同的角是-330°.2.写出终边落在x轴上的角的集合S.【解析】S={α|α=k·360°，k∈Z}∪{α|α=k·360°+180°，k∈Z}={α|α=2k·180°，k∈Z}∪{α|α=(2k+1)·180°，k∈Z}={α|α=n·180°，n∈Z}.【拓展延伸】运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°+α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉.(2)α是任意角.(3)k·360°与α之间用“+”连接，如k·360°-30°应看成k·360°+(-30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍.【拓展训练】写出与α=-1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720°≤β360°的元素β写出来.类型三象限角及其应用(直观想象)角度1用不等式组表示角的集合【典例】如图所示.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.【思路导引】(1)根据题目给出的角度分别写出OA，OB表示的角.(2)根据阴影部分写出不等式，注意两个角的先后顺序.【变式探究】如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.∪{α|k·360°+210°≤αk·360°+285°，k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α2k·180°+105°，k∈Z}∪{α|(2k+1)·180°+30°≤α(2k+1)·180°+105°，k∈Z}={α|2k·180°+30°≤α2k·180°+105°或(2k+1)·180°+30°≤α(2k+1)·180°+105°，k∈Z}={α|n·180°+30°≤αn·180°+105°，n∈Z}.角度2nα或所在象限的判定【典例】若α是第二象限角，则2α，分别是第几象限的角？【思路导引】根据已知条件，用不等式表示出α的范围，再求出nα或的范围，然后判定所在象限即可.n2n(2)因为α是第二象限角，所以90°+k·360°α180°+k·360°(k∈Z)，所以45°+k·180°90°+k·180°(k∈Z).①当k=2n(n∈Z)时，45°+n·360°90°+n·360°(n∈Z)，即是第一象限角；②当k=2n+1(n∈Z)时，225°+n·360°270°+n·360°(n∈Z)，即是第三象限角.故是第一或第三象限角.222222【解题策略】关于角nα或象限的确定(1)由α的范围，表示出nα，的范围，由n的取值确定象限.(2)特别地，求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一，二，三，四，找到原象限数字即可.nnn【题组训练】1.角α=-60°+k·180°(k∈Z)的终边落在()A.第四象限B.第一、二象限C.第一象限D.第二、四象限【解析】选D.令k=0，α=-60°，在第四象限；再令k=1，α=-60°+180°=120°，在第二象限.2.已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是_______.【解析】观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°+45°αk·360°+150°，k∈Z}.答案：{α|k·360°+45°αk·360°+150°，k∈Z}3.若角α是第一象限角，则(1)-α是第_______象限角；(2)是第_______象限角.【解析】因为α是第一象限角，所以k·360°αk·360°+90°(k∈Z).(1)-k·360°-90°-α-k·360°(k∈Z)，所以-α所在区域与(-90°，0°)范围相同，故-α是第四象限角.3(2)方法一(分类讨论)：k·120°k·120°+30°(k∈Z).当k=3n(n∈Z)时，n·360°n·360°+30°，所以是第一象限角；当k=3n+1(n∈Z)时，n·360°+120°n·360°+150°，3333所以是第二象限角；当k=3n+2(n∈Z)时，n·360°+240°n·360°+270°，所以是第三象限角.综上可知，是第一或第二或第三象限角.3333方法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上1，2，3，4，则标有1的区域即为角的终边落在的区域，故为第一或第二或第三象限角.答案：(1)四(2)一或二或三3【补偿训练】已知α为第一象限角，求180°-是第_______象限角.【解析】因为α为第一象限角，所以k·360°αk·360°+90°，k∈Z，所以k·180°k·180°+45°，k∈Z，所以-45°-k·180°--k·180°，k∈Z，所以135°-k·180°180°-180°-k·180°，k∈Z.2222当k=2n(n∈Z)时，135°-n·360°180°-180°-n·360°，为第二象限角；当k=2n+1(n∈Z)时，-45°-n·360°180°--n·360°，为第四象限角.所以180°-是第二或第四象限角.答案：二或四222课堂检测·素养达标1.在下列说法中，正确的是()①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④-2000°是第二象限角.A.①②B.③④C.①③D.②④2.179°角是()A.第一象限角B.第二象限