可对角化矩阵的应用

可对角化矩阵的应用矩阵可对角化问题是矩阵理论中的一个重要问题，可对角化矩阵作为一类，特殊的矩阵，在理论上和应用上有着十分重要的意义。下面列举几个常见的可对角化矩阵的应用的例子。1.求方阵的高次幂例设V是数域P上的一个二维线性空间，12,是一组基，线性变换在12,下的矩阵A=2110，试计算kA。解：首先计算在V的另一组基12,下的矩阵，这里121211,,12，且在12,下的矩阵为11121112121111112101211101201显然1110101kk，再利用上面得到的关系11121111112101201我们可以得到121111111111211101201121201111kkkkkkk2.利用特征值求行列式的值。例：设n阶实对称矩阵2A=A满足，且A的秩为r，试求行列式2EA的值。解：设AX=X，X0，是对应特征值的特征向量，因为2AA，则22XX，从而有20X，因为X0，所以1，即=1或0，又因为A是实对称矩阵，所以A相似于对角矩阵，A的秩为r，故存在可逆矩阵P，使1000rEPAP=B，其中rE是r阶单位矩阵，从而11022202rnrnrEEAPPPBPEBE3由特征值与特征向量反求矩阵。若矩阵A可对角化，即存在可逆矩阵P使，其中B为对角矩阵，则例设3阶实对称矩阵A的特征值为，对应的特征向量为，求矩阵A。解：因为A是实对称矩阵，所以A可以对角化，即A由三个线性无关的特征向量，设对应于231的特征向量为123,,TPXXX，它应与特征向量1P正交，即1123,00PPXXX，该齐次方程组的基础解系为231,0,0,0,1,1TTPP，它们即是对应于231的特征向量。取123010100,,101,010101001PPPPB，则1PAPB，于是11100101001002210101010000110100111010022APBP4判断矩阵是否相似例下述矩阵是否相似123200210201020,021,020003003003AAA解：矩阵123,,AAA的特征值都是12(二重)，23，其中1A已是对角阵，所以只需判断23,AA是否可对角化，先考查2A，对于特征值1解齐次线性方程组220EAX得其基础解系为11,0,0T，由于1是2A的二重特征值，却只对应于一个特征向量，故2A不可对角化或者说2A与1A不相似。再考查3A，对于特征值1，解齐次线性方程组得基础解系，对于特征值解齐次线性方程组320EAX，得基础解系121,0,0,0,1,0TT，对于23特征值解齐次线性方程组330EAX，得基础解系31,0,1T，由于3A有三个线性无关的特征向量，所以3A可对角化，即3A与1A相似。5求特殊矩阵的特征值例设A为n阶实对称矩阵，且22AA，又rArn，求（1）A的全部特征值，（2）行列式EA的值解：（1）设为A的任一特征值，为A的对应特征值的特征向量，所以，有22，又因为22AA，所以2，所以2，由此可得或0，因为A是实对称矩阵，所以A必能对角化即2200，且rAr，故2的个数为A的秩数，即A的特征值为r个2及(n-r)个0（2）因为由（1）可得A~B，即存在可逆矩阵C，使得1CACB，故有1ACBC,EA=11ECBCCEBCEB11111r6在向量空间中的应用例设是n使维列向量空间，A是n阶复矩阵，是任一复数，令12,WEAVWVEA，则若A相似于对角阵，有120WW证明：对任意012XWW，有0XEA和00EAX所以20EA又因为A相似于对角阵，有00EAX与20EA的解空间相同，所以20EA和00XEA，所以120WW。7在现行变换中的应用例设1nPXn为数域P上次数小于n多项式及零多项式的全体，则微分变换在nPX的任何一组基下的矩阵不是对角形。证明：取nPX的一组基1,,2!1!nXXn，则在这组基下的矩阵为1000nE，所以n，若在某一组基下的矩阵B为对角矩阵，由~AB知A可对角化，存在可逆矩阵T使得1TATB，所以1ATBT，由的全为零知B=0，所以A=0，这不可能，所以微分变换在nPX的任何一组基下的矩阵都不是对角阵。