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第1页，共21页2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为()．A.0.439×106B.4.39×106C.4.39×105D.439×1032.下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是()A.B.C.D.3.正十边形的外角和为()A.180°B.360°C.720°D.1440°4.在数轴上，点A，B在原点O的两侧，分别表示数a，2，将点A向右平移1个单位长度，得到点C，若𝐶𝑂=𝐵𝑂，则a的值为()A.−3B.−2C.−1D.15.已知锐角∠𝐴𝑂𝐵，如图，(1)在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作𝑃𝑄⏜，交射线OB于点D，连接CD；(2)分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交𝑃𝑄⏜于点M，N；(3)连接OM，MN．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是()A.∠𝐶𝑂𝑀=∠𝐶𝑂𝐷B.若𝑂𝑀=𝑀𝑁.则∠𝐴𝑂𝐵=20°C.𝑀𝑁//𝐶𝐷D.𝑀𝑁=3𝐶𝐷6.如果𝑚+𝑛=1，那么代数式(2𝑚+𝑛𝑚2−𝑚𝑛+1𝑚)⋅(𝑚2−𝑛2)的值为()A.−3B.−1C.1D.37.用三个不等式𝑎𝑏，𝑎𝑏0，1𝑎1𝑏中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为()A.0B.1C.2D.38.某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分时间t人数学生类型0≤𝑡1010≤𝑡2020≤𝑡3030≤𝑡40𝑡≥40第2页，共21页性别男73125304女82926328学段初中25364411高中下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5−25.5之间②这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20−30之间③这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20～30之间④这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20～30之间所有合理推断的序号是()A.①③B.②④C.①②③D.①②③④二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.分式𝑥−1𝑥的值为0，则x的值是______．10.如图，已知△𝐴𝐵𝐶，通过测量、计算得△𝐴𝐵𝐶的面积约为______𝑐𝑚2.(结果保留一位小数)11.在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.(写出所有正确答案的序号)12.如图所示的网格是正方形网格，则∠𝑃𝐴𝐵+∠𝑃𝐵𝐴=______°(点A，B，P是网格线交点)．13.在平面直角坐标系xOy中，点𝐴(𝑎,𝑏)(𝑎0,𝑏0)在双曲第3页，共21页线𝑦=𝑘1𝑥上，点A关于x轴的对称点B在双曲线𝑦=𝑘2𝑥，则𝑘1+𝑘2的值为______．14.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．15.小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差𝑠02，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，−4，9，−5，记这组新数据的方差为𝑠12，则𝑠12______𝑠02(填“”，“=”或””)16.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）17.计算：|−√3|−(4−𝜋)0+2𝑠𝑖𝑛60°+(14)−1．18.解不等式组：{4(𝑥−1)𝑥+2𝑥+73𝑥19.关于x的方程𝑥2−2𝑥+2𝑚−1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．第4页，共21页20.如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，𝐵𝐸=𝐷𝐹，连接EF．(1)求证：𝐴𝐶⊥𝐸𝐹；(2)延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点𝑂.若𝐵𝐷=4，𝑡𝑎𝑛𝐺=12，求AO的长．21.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：𝑎.国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组：30≤𝑥40，40≤𝑥50，50≤𝑥60，60≤𝑥70，70≤𝑥80，80≤𝑥90，90≤𝑥≤100)；𝑏.国家创新指数得分在60≤𝑥70这一组的是：61.7、62.4、63.6、65.9、66.4、68.5、69.1、69.3、69.5𝑐.40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：第5页，共21页𝑑.中国的国家创新指数得分为69.5．(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，回答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第______；(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线𝑙1的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；(结果保留一位小数)(4)下列推断合理的是______．①相比于点A，B所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点B，C所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．22.在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于𝑎(𝑎为常数)，到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠𝐴𝐵𝐶的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．(1)求证：𝐴𝐷=𝐶𝐷；(2)过点D作𝐷𝐸⊥𝐵𝐴，垂足为E，作𝐷𝐹⊥𝐵𝐶，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接𝐶𝑀.若𝐴𝐷=𝐶𝑀，求直线DE与图形G的公共点个数．第6页，共21页23.小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下：①将诗词分成4组，第i组有𝑥𝑖首，𝑖=1，2，3，4；②对于第i组诗词，第i天背诵第一遍，第(𝑖+1)天背诵第二遍，第(𝑖+3)天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，𝑖=1，2，3，4；第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第1组𝑥1𝑥1𝑥1第2组𝑥2𝑥2𝑥2第3组第4组𝑥4𝑥4𝑥4③每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题：(1)填入𝑥3补全上表；(2)若𝑥1=4，𝑥2=3，𝑥3=4，则𝑥4的所有可能取值为______；(3)7天后，小云背诵的诗词最多为______首．24.如图，P是𝐴𝐵⏜与弦AB所围成的图形的外部的一定点，C是𝐴𝐵⏜上一动点，连接PC交弦AB于点D．小腾根据学习函数的经验，对线段PC，PD，AD的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)对于点C在𝐴𝐵⏜上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC，PD，AD的长度的几组值，如下表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8𝑃𝐶/𝑐𝑚3.443.303.072.702.252.252.642.83𝑃𝐷/𝑐𝑚3.442.692.001.360.961.132.002.83𝐴𝐷/𝑐𝑚0.000.781.542.303.014.005.116.00在PC，PD，AD的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系xOy中，画出(1)中所确定的函数的图象；(3)结合函数图象，解决问题：当𝑃𝐶=2𝑃𝐷时，AD的长度约为______cm．第7页，共21页25.在平面直角坐标系xOy中，直线l：𝑦=𝑘𝑥+1(𝑘≠0)与直线𝑥=𝑘，直线𝑦=−𝑘分别交于点A，B，直线𝑥=𝑘与直线𝑦=−𝑘交于点C．(1)求直线l与y轴的交点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段AB，BC，CA围成的区域(不含边界)为W．①当𝑘=2时，结合函数图象，求区域W内的整点个数；②若区域W内没有整点，直接写出k的取值范围．26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−1𝑎与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)；(2)求抛物线的对称轴；(3)已知点𝑃(12,−1𝑎)，𝑄(2,2).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27.已知∠𝐴𝑂𝐵=30°，H为射线OA上一定点，𝑂𝐻=√3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠𝑂𝑀𝑃为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．第8页，共21页(1)依题意补全图1；(2)求证：∠𝑂𝑀𝑃=∠𝑂𝑃𝑁；(3)点M关于点H的对称点为Q，连接𝑄𝑃.写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有𝑂𝑁=𝑄𝑃，并证明．28.在△𝐴𝐵𝐶中，D，E分别是△𝐴𝐵𝐶两边的中点，如果𝐷𝐸⏜上的所有点都在△𝐴𝐵𝐶的内部或边上，则称𝐷𝐸⏜为△𝐴𝐵𝐶的中内弧．例如，图1中𝐷𝐸⏜是△𝐴𝐵𝐶的一条中内弧．(1)如图2，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=2√2，D，E分别是AB，AC的中点，画出△𝐴𝐵𝐶的最长的中内弧𝐷𝐸⏜，并直接写出此时𝐷𝐸⏜的长；(2)在平面直角坐标系中，已知点𝐴(0,2)，𝐵(0,0)，𝐶(4𝑡,0)(𝑡0)，在△𝐴𝐵𝐶中，D，E分别是AB，AC的中点．①若𝑡=12，求△𝐴𝐵𝐶的中内弧𝐷𝐸⏜所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；②若在△𝐴𝐵𝐶中存在一条中内弧𝐷𝐸⏜，使得𝐷𝐸⏜所在圆的圆心P在△𝐴𝐵𝐶的内部或边上，直接写出t的取值范围．第9页，共21页答案解析1.【答案】C【解析】解：将439000用科学记数法表示为4.39×105．故选：C．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为𝑎×10𝑛的形式，其中1≤|𝑎|10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了多边形外角和定理，关键是熟记：多边形的外角和等于360度．根据多边的外角和定理进行选择．【解答】解：因为