专升本高等数学课件知识归纳大全

多做练习方可熟能生巧善于归纳才能灵活应变第一章函数,极限,连续一.函数(一)函数概念1.函数定义2.函数关系两要素:(1)对应关系f;(2)定义域D(f)例①225()ln(41xfxxx）求)(fD②)()()(.)()()(.)()()(.)()()(.(),ln)(yfxfyxfDyfxfyxfCyfxfxyfByfxfxyfAxxf则Dxxfy),([1,1)211yxx21yx11lg21xyx11xyx（08）下列函数中，定义域为的函数是（）（B）（C）（D）（A）（模C）[()]1cos,()sin2()(.....)xfxxxfx则(二)函数特性1.单调性2.奇偶性3.周期性4.有界性关于原点对称定义域为奇函数为偶函数Dxfxfxfxfxfxf)()()()()()()()(xfTxfBxfAMxf)()(或例偶函数2)(xxeexf奇函数xxeexfxxxf11)()1ln()(2周期函数Txxy求周期,2cos3sinBxAy)sin(2()(1)cosfxxx（10）（08）是（D）（A）（B）（C）单调增函数（D）奇函数偶函数非单调函数(),(),()fxgxx（07）均为奇函数，则下列为偶函数的是（）22()2,12xfxxex()[()()]fxgxx()()()fxgxx()()()fxgxx()()()fxgxx（A）（B）（C）（D）11[()()]fxfxdx则（.....)()[1,1]fx在连续，（07）1()............(............(............(fx在(0,+)有界，无界）x在(0,1]有界，无界）在[1,+)有界，无界）eg(三)反函数1.反函数定义.特点①②③2.举例①)11()(,11)1(1xxxfxxxf则]2,0[],3,3[,3arccos21,2cos3yxxyxy其反函数为②③的反函数求)(21xxaay（05）(四）复合函数1.定义2.分解标准-----分解到每一步都是基本初等函数的和,差,积,商为止.3.复合函数定义域求法①②的定义域求的定义域为)ln11(),1,0[)(xfxf的定义域求的定义域为)11(],2,0[)(2xfxf注意：并非任何两个函数都可以复合无意义)4ln(4ln22xyxuuy（03）（07）（08）24211(),()[]12xfxfxxxx则111(),()[]112xxfxfxxx则111(),()[]1xxffxxxx则(五)基本初等函数常用的有六类14个;Cy);(为常数xy)1,0(log);1,0(aaxyaaayax,cot,tan,cos,sinxyxyxyxyxysecxycscxyarcsinxyarccosxyarctanxarcycot(六）初等函数－－由基本初等函数（１）经过有限次的和,差,积,商运算，（２）有限次的复合运算，（３）且可用一个公式表示的函数.非初等函数举例:231...(2)sin(1),1(3)11,1nxyxxxxyxxxaxxyxex（）二.极限(一)极限定义Ayxxxnlim0XN(二)性质1.单调有界数列必有极限.2.夹逼定理3.AxfxfAxfxx)0()0()(lim04.四则运算(①有极限;②有限个)(三)求极限1.两个重要极限)41(4)2sin(22limxxx)()411(414limexxx)21(.)(limbebtbttt则(06)③(03)②④(09)100(15).(2)limkxxxe则k①011sin()22limxxx(10)2.其他举例mnbamnmnbxbxbxbaxaxaxamnmmmmnnnnx,,0,01110111lim①xxexx10sinlim②1212limxxx③)]11()311)(211[(222limnn④3.罗必塔法则0,,1,,0,,0000三.无穷小.无穷大1.定义2.性质②③①)0,()()(0)()(0)(),(,)(0)()(,0)(,0)(),(0)()(,0)(,0)(),(0000lim0xxAxfAxfxfxxxxxMxfxxxxxxxxxxxxxxxx当则当则当则当④例题(性质)②①0221sin,01sinlimlim020xxxxxxx2tan01sin1222limlimxxarexxxxx③④3.无穷小阶的比较(教材P27)设（等价）称当特别，是同阶无穷小与，称当低阶的无穷小是较，称当高阶的无穷小是较，称当~,,1,0,,00000lim0xxcxxcxxxxxx0,,xx当都是无穷小（或x)例题(阶比较)①(05)不是无穷小）（的等价无穷小）（的同阶无穷小）（的高阶无穷小）（）是（则当都是无穷小当DCBAAxxxx;;,,,,00②220,11~sin,xaxxa当求③无穷大高阶的无穷小比同阶但非等价的无穷小与等价的无穷小；与是当)(;523)(;523)(523)()(21sin,)03(DnCnBnABnn0x2xcos1x1cos2x211x(1)sinxex（07）当时，下列函数中能成为的等价无穷小的是（D）（B）（C）（D）（A）0x22xx与sinxx与21cosxx与tan2xx与（09）当时，下列四组函数中为等价无穷小的是（B）（A）（B）（C）（D）4.等价无穷小代换定理(教材P27）定理limlimlimlimlim00000,,~,~,0xxxxxxxxxxxx则存在当xnxxxxxxexxxxxxxxxnx1~11,21~cos1,~)1ln(,~1,~arctan,~arcsin,~tan,~sin,02有当结论例题(等价无穷小代换)21sinsintansin)41ln(sin2322030limlimlimxxxxxxxeexxxxx①②③四.连续与间断(一)连续1.2.连续三要素)()()3()()2()()1(000limlim00xfxfxfxfxxxx存在存在3.左右连续0001...02...()()limlimxxxDefDeffxfxy0000()()()()limlimxxxxfxfxfxfx左连续右连续(二)间断点分类第一类（都存在的间断点）(1)可去间断点(2)可去间断点(3)跳跃间断点第二类（至少一个不存在的间断点）(4)无穷间断点(5)振荡间断点00(0)(0)fxfx，)0()0()()0()0()()0()0(00000000xfxfxfxfxfxfxfxf不存在；不定)()(limlim00xfxfxxxx00(0)(0)fxfx，（07）211(),()1xxfxfxe求的间断点并判别其类型。22(),()(1)xxfxfxxx求的间断点并判别其类型。(),[tan4()xfxxxfx5,],4求的间断点并判别其类型。（模A）eg(三)闭区间上连续函数的性质定理1定理2定理3(介值定理）（教材P31——32)定理4（根值定理）[,]maxmin()(),()abfxCfxfx存在[,]()()abfxCfx在[a,b]有界[,]00(),()(),(,),()0abfxCfafbxabfx与异号则必使（模B）21xx求证方程至少有一个小于1的正根sin(0,0)xaxbabab求证方程至少有一个不超过的正根eg()0,[,],1)()()1.()22.()0(,)xxabfxabxftdtdtftFxFxab设在连续令F(求证：方程在内有且仅有一个实根。（模C）第二章导数与微分一.导数的概念1.定义2.几何意义3.左右导数4.可导与连续的关系000....()()()Thfxxfxfx在可导存在连续在可导在00)()(....xxfxxfThxxfxxfxfx)()()(0000lim000)()()(lim0xxxfxfxfxx()0()....fxxxABCD在处是,可导但不连续;不连续且不可导;连续且可导;连续但不可导（10）函数定义，极限，连续，可导，可微的关系★二.求导数归纳2.四则运算3.反函数求导例xxfxxfxfx)()()(0000lim......)(.........)7(.12)2(,1)()(3fyyxxfy则知互为反函数与000)()()(lim0xxxfxfxfxx1.基本导数公式.,)(...)(yeefyfxfx求可微，①②③⑤（04）④(06)4.复合函数求导)ln(sin2xy)](arctan[cos4xy22arccos,(0)]....ayxaaxax求dy''........)]([],...)[(xxnnzybaxfzbaxfy求(10)()(2)lndfxfxxdx，求(10)计算题()xfxexxddyyfdxdx，g()=cos,g=(),求5.隐函数求导显函数-----隐函数-----)(xfy0),(yxFyyyexexy求,4yyyxy...)....tan(求dxdyyxxy求...1lnln)...06(02.......sin)ln()...07(xdxdyxxyyx求①②③④yyxe22,dydydxdx求（09）对数求导法(1))()(xvxuy例xxyxxysin3cos)2(tanxxyxyyx5232).)(ln(cos)43()12().2(xxxxy6.参数方程求导(1)(2)(3)(4)222...arctan)1ln()03(dxyddxdyttytx求...sin2sin2)04(dxdytytx求...)sin1(2)cos(2)05(dxdytyttx求...010)1(dxdyetettxyy求21(ln)...lntxtytttdy求dx(6)（09）0(1sin)...cosxydy求dx(5)（08）7.高阶导数例)(..,11nyxy求)(..),1ln(nyxy求(10)[(05)(0)...(07)....(09)()]fyfx求求求)(2.1071nyxxy求)(..,nxyxey求).]1()07[(f求①②③④例(高阶导数))(..,sinnyxy求)(..,cosnyxy求⑤⑥)2sin()(sin)(nxxn)2cos()(cos)(nxxn8.分断函数求导0000000000),(,),()(),(,),()(,),()(,),()(xxxgxxxxxxfxxxgxxAxxxxfxxxxxxfxxAxxxxf从