第10讲条件平差的原理

四川建筑职业技术学院授课教案第1页第10讲条件平差的原理拉格朗日乘数法：要找出函数(,)Zfxy在附加条件(,)0xy下的可能极值点，可以先构造函数(,)(,)(,)Fxyfxyxy，其中为常数，求其对x，y的一阶偏导数，使之为0，并与附加条件联立，即(,)(,)0(,)(,)0(,)0xxyyfxyxyfxyxyxy，解得x，y，，求得的(,)xy，就是函数(,)Zfxy在附加条件(,)0xy下的可能极值点。条件平差法长期以来是与间接平差法并列的重要方法之一，近年来由于方法不适合计算机编程，其重要性已经不如间接平差法。但是条件方程直接表述观测值平差值应该满足的条件，直观易懂，同时是外业成果检查的基础，重要性仍不容忽视。实际上间接平差模型也可看作条件方程的特殊形式，所以学习条件平差方法，对于我们系统地理解平差理论与方法，具有重要的意义。1测量平差方法概述1.1平差的目的设在某一平差问题中，为了解决这一问题，至少需要t个观测值，这样的观测个数称为必要观测个数。例如，为了确定一个平面三角形的形状，至少需要观测三角形的两个角，即t=2。当观测值个数nt时，问题不能解决。n=t时，问题得以解决，但不能发现错误。由于测量误差总是不可避免的，为提高精度避免差错，总要使nt，令r=n-t，则称r为多余观测数。由于有r个多余观测，在平差值之间将产生r个几何或物理的约束方程，这种方程称为条件方程。例：为了确定三角形的形状，观测三个内角。因随机误差的存在，L1+L2+L3≠180°，存在闭合差w=L1+L2+L3－180°，对Li进行改正，将w分配到L1、L2、L3三个内角，使得123ˆˆˆ180LLL。设观测总数用n表示，则有r=n-t测量误差总是不可避免的，为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多余观测。在测量中，如果没有多余观测值，当观测存在误差或粗差时，容易造成结果解算不正确，而多余观测值的存在可以有效的检核和改正偶然误差因素的影响。有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结四川建筑职业技术学院授课教案第2页果并评定测量成果的精度。故，测量平差的目的就是根据最小二乘法原理处理，正确地消除各观测值之间的矛盾，合理地分配误差，求出观测值及其函数的最或是值，同时评定测量结果的精度。1.2平差的基本方法最常用的平差方法是条件平差和间接平差。条件平差是根据条件方程式按最小二乘法原理求观测值的最或是值；间接平差法是根据观测量与未知量的函数关系，列出误差方程式，然后再按最小二乘法原理求未知量的最或是值。1.3起算数据为了确定1个网的大小和位置所必需的已知数据，称为必要起算数据。按照起算数据的不同，控制网可分为独立网和非独立网（附和网）两种类型。等于或少于必要起算数据的网称为独立网；多于必要起算数据的网称为非独立网。水准网：一个已知高程点H测角网：1个点的纵、横坐标00(,)xy、1条边的已知坐标方位角0、1条已知边长0S或2个已知点的纵横坐标1122(,)(,)xyxy、测边网：1个点的纵、横坐标00(,)xy、1条边的已知坐标方位角0边角网：1个点的纵、横坐标00(,)xy、1条边的已知坐标方位角0导线网：1个点的纵、横坐标00(,)xy、1条边的已知坐标方位角02条件平差的原理设有n个观测值Li，r个多余观测值，则有r个平差值线性条件方程112201122011220ˆˆˆ...0ˆˆˆ...0ˆˆˆ...0nnnnnnaLaLaLabLbLbLbrLrLrLr矩阵形式为：0ˆ0ALA第一个条件方程系数到最后一个条件方程系数分别采用字母a-r,下标与观测值编号对应。r是最后一个条件方程的编号，表示条件方程个数为r，但是r数目与r在英文字母中序号无关。将观测值平差值ˆL表示为：ˆLLV，代入条件方程，并令四川建筑职业技术学院授课教案第3页112201122011220...........................................annbnnrnnwaLaLaLawbLbLbLbwrLrLrLr10112n0212n20n1r1rn1r10r12nnˆLavaaaˆbvbbbLˆVLAArvrrrˆLabrr,,＝,＝,＝112211221122...0...0.................................0nnannbnnravavavwbvbvbvwrvrvrvw其矩阵式为：1110rnnrnAVW，其中0()WALA，称为闭合差。这就是条件平差的函数模型。由于此函数模型无唯一解，所以要附加最小二乘条件，求其特解。111TTnrrnnnVPAKQAK，称改正数方程。而方程组：10TVPAKAVW就称为条件平差的基础方程。求解上述基础方程，是将改正数方程代入条件方程，得：1110TrnnrrrAPAKW。若令1TTaaNAPAAQA，则方程一般写成110aarrrrNKW，1aaKNW称法方程。其中系数阵aaN是一对称方阵，给出下标aa是为了和以后要介绍的其它平差方法的法方程系数阵有所区别。组成法方程后，根据法方程求出联系数k，代入改正数方程求的改正数V，从而得到消除了不符值的观测值平差值ˆLLV，进一步可得到观测值平差值的函数平差值－高程、坐标等。至此就完成了平差工作的第一部分（对一系列带有观测误差的观测值，运用概率统计的方法来消除它们之间的不符值，求出未知量的最可靠值）。特别的，若权阵P是一对角阵（即观测值误差两两相互独立，实际工作中绝大多数四川建筑职业技术学院授课教案第4页情况下，P是对角阵），则改正数方程和法方程的纯量形式分别为：改正数方程纯量形式：1(...)iiaibicirivakbkckrkp方程特点是，改正数Vi对应观测值Li的权Pi,括号中联系数的系数依次是误差方程系数阵rnA中i列各行元素，也就是各误差方程中改正数Vi的系数。法方程纯量形式：...0...0....0abraabrbabrrraaabarkkkwpppabbbbrkkkwppparbrrrkkkwppp3条件平差求平差值的计算步骤及示例总结计算步骤，以简单实例说明（1）根据平差问题的具体情况，列条件方程式AV＋W=0，其中条件方程个数等于多余观测数r。（2）根据条件方程系数，闭合差及观测值的权组成法方程NK＋W=0，其中法方程阶数等于多余观测数r，1TTaaNAPAAQA。（3）解法方程，求出联系数向量K，其中1aaKNW（4）将K代入改正数方程111TTnrrnnnVPAKQAK，求得改正数向量V，进而求得观测值平差值ˆLLV。（5）将观测值平差值ˆL代入观测值平差值线性条件方程，检验平差正确性。[例3－1]：设对某个三角形的3个内角做同精度观测，得观测值为：1236217'53.6L3352'19.8L8349'43.6L＝，求3个内角的平差值。解：n=3，t=2，故r=n-t=1列出观测值平差值应满足的条件方程0ˆ0ALA为：123ˆˆˆ1800LLL，代入ˆiiiLLv及实际值得：四川建筑职业技术学院授课教案第5页1233.00vvv。矩阵式为：1231113.00vvv各观测值为等精度观测，则133,3TaaPENAPA法方程33.00ak，从而1.0ak。代入改正数方程11(...)(123iiaibiciriiaiivakbkckrkvakipp,,），得：123vvv1.0。各角的平差值为111222333ˆ6217'53.61.06217'54.6ˆ3352'19.8+1.03352'20.8ˆ8349'43.61.08349'44.6LLvLLvLLv代入平差值方程检核，得6217'54.63352'20.88349'44.61800