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12017年上海市高三数学竞赛（2017.03.26）一、填空题：（本大题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）1、函数y=lg[arcsin(2x2－x)]的定义域是__________，值域是__________.2、数列na是递增数列，满足：an+12＋an2＋81=18(an＋an+1)＋2anan+1，n=1，2，……，而且a1=1，则数列na的通项公式an=__________.3、用一张正方形纸片（不能裁剪）完全包住一个侧棱长和底边长均为1的正四棱锥，则这个正方形的边长至少是__________.4、一个口袋中有10张卡片，分别写着数字0，1，2，……，9，从中任意连续取出4张，按取出的顺序从左到右组成一个四位数（若0在最左边，则该数视作三位数），则这个数小于2017的概率是__________.5、设1211=)(2＋＋＋xxxf，则)°89(tan)°2(tan)°1(tanfff＋＋＋=__________.6、设集合A={a1，a2，a3}是集合{1，2，……，16}的子集，满足a1＋7≤a2＋4≤a3，则这样的子集A共有__________个。7、在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)，B(2，3)，及圆C：215=)1()(222ayax＋＋＋－，若线段AB（包括端点A，B）在圆C的外部，则实数a的取值范围是__________.28、一串“＋”、“－”号排成一行，从左向右看，就会产生“变号”。例如，＋＋－＋－－＋，其中有4次“变号”，若有10个“＋”号与6个“－”号排成一行，产生7次“变号”，则这种排列共有__________种。二、解答题：（本大题满分60分，每题15分）9、已知数列na的各项均为正实数，a1=1，而且对于一切正实数n，均有)(2=211+nnnaaaaa＋＋＋.（1）证明：数列na的每一项都是完全平方数；（2）证明：9|a100.10、给定正实数a，若复数tiaz＋1=（这里i是虚数单位，t是实参数）满足|z－i|的最大值是2，求a的值。311、求满足2ncos20°cos40°…cos(2n·10°)=1的所有正整数n.12、将5×5矩阵的每个元素都取成1，2，3，4，5这5个数之一，要求每行的5个元素互不相等，而对任意相邻两行，恰存在一个k∈{1，2，3，4，5}，使得这两行在第k列上的元素相等。此时，若矩阵中存在某一列上相邻的3个元素相等，则称该矩阵为“有趣的”；否则，若任意一列上都不出现相邻的3个元素相等，则称该矩阵为“无趣的”。试比较有趣的矩阵的个数x与无趣的矩阵的个数y的大小。