2011上海市高中数学竞赛(新知杯)

2011上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）1．方程组271211xxyxy的解集是。2．在平面直角坐标系中，长度为1的线段AB在x轴上移动（点A在点B的左边），点(0,1)P与点A连成直线，点(1,2)Q与点B连成直线，则直线PA与直线QB的交点R轨迹的普通方程是。3．已知M是椭圆221169xy在第一象限的弧上一动点，MNy轴，垂足为N，当OMN面积最大时，它的内切圆半径r。4．已知ABC的外接圆半径为1，角ABC、、的平分线分别交ABC的外接圆于点111ABC、、，则111coscoscos222sinsinsinABCAABBCCABC的值为。5．设3()sin[(1)]12fxaxbx，其中,ab为实常数，若(lg5)5f，则(lg20)f的值为。6．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点(3,),(3,)AaBb使45AOB，其中,ab为整数，且ab，则满足条件的数对(,)ab共有组。7．已知圆C的方程为224210xyxy（圆心为点O），直线(tan10)2yx与圆C交于AB、两点，则直线ACBC，的倾斜角之和为。8．甲、乙两运动员乒乓比赛在进行中，甲必须再胜2局才最后获胜；乙必须再胜3局才最后获胜，若甲、乙两人每局取胜的概率都是12，则甲最后获胜的概率是。（用最简分数作答）二、解答题（共60分）9．（本题满分14分）对于两个实数,ab，min{,}ab表示,ab中的较小数，求所有的非零实数x，使41min{,4}8min{,}xxxx。10．（题满分14分）如图，在ABC中，O为BC的中点，点MN，分别在边ABAC，上，且6443AMMBANNC，，，，90MON；求A的大小。11．（本题满分16分）对整数k，定义集合{|5050(1),}kSnknknZ，问012599SSSS，，，，这600个集合中，有多少个集合不含有完全平方数？12．（本题满分16分）求所有大于1的正整数n，使得对任意正实数12,,,nxxx，都有不等式21212231()()nnxxxnxxxxxx。20080808