步步高中档题目强化练——概率与统计

中档题目强化练——概率与统计数学北（理）第十二章概率、随机变量及其分布A组专项基础训练12345678910A组专项基础训练123456789101．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运会门票中任选3张，则选取的3张中至少有2张价格相同的概率为()A．14B．79120C．34D．2324解析基本事件的总数是C310，在三种门票中各自选取一张的方法是C15C13C12，故随机事件“选取的3张中价格互不相同”的概率是C15C13C12C310＝5×3×2120＝14，故其对立事件“选取的3张中至少有2张价格相同”的概率是1－14＝34.CA组专项基础训练123456789102．已知ξ的分布列如下表，若η＝2ξ＋2，则Dη的值为()ξ－101P121316A．－13B．59C．109D．209解析Eξ＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，Dξ＝－1＋132×12＋0＋132×13＋1＋132×16＝59，∴Dη＝D(2ξ＋2)＝4Dξ＝209，故选D.DA组专项基础训练123456789103．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜．根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛甲获胜的概率是()A．0.216B．0.36C．0.432D．0.648解析由题意知，甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时P1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时P2＝C12×0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率P＝P1＋P2＝0.648.DA组专项基础训练123456789104．已知x∈[－1,1]，y∈[0,2]，则点P(x，y)落在区域2x－y＋2≥0，x－2y＋1≤0x＋y－2≤0内的概率为()A．316B．38C．34D．32解析不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×3×2－12×3×1＝32，则所求概率为38.BA组专项基础训练123456789105．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0p1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为()A．(1－p)nB．1－pnC．pnD．1－(1－p)n解析显然n位同学参加某项选拔测试可看做n次独立重复试验，其中没有一位同学能通过测试的概率为(1－p)n，D故至少有一位同学能通过测试的概率为1－(1－p)n.A组专项基础训练123456789106．在体积为V的三棱锥S－ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S－APC的体积大于V3的概率是________．解析由题意可知VS－APCVS－ABC13，如图所示，三棱锥S－ABC与三棱锥S－APC的高相同，因此VS－APCVS－ABC＝S△APCS△ABC＝PMBN＝APAB13(PM，BN为其高线)，故所求概率为23.23A组专项基础训练123456789107．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望Eξ＝________.解析两封信投入A，B，C三个空邮箱，投法种数是32＝9，A中没有信的投法种数是2×2＝4，概率为49，A中仅有一封信的投法种数是C12×2＝4，概率为49，A中有两封信的投法种数是1，概率为19，故A邮箱的信件数ξ的数学期望是49×0＋49×1＋19×2＝23.23A组专项基础训练123456789108．随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ1)＝0.8413，则P(－1ξ0)＝________.解析∵ξ～N(0,1)，∴P(－1ξ0)＝P(0ξ1)＝1－2[1－Pξ1]2＝0.3413.0.3413A组专项基础训练123456789109．已知集合A＝{x|x2＋3x－40}，B＝xx＋2x－40.(1)在区间(－4,5)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；(2)设(a，b)为有序实数对，其中a，b分别是集合A，B中任取的一个整数，求“a－b∈A∪B”的概率．解(1)由已知得A＝{x|x2＋3x－40}＝{x|－4x1}，B＝xx＋2x－40＝{x|－2x4}，显然A∩B＝{x|－2x1}．设事件“x∈A∩B”的概率为P1，A组专项基础训练123456789109．已知集合A＝{x|x2＋3x－40}，B＝xx＋2x－40.(1)在区间(－4,5)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；(2)设(a，b)为有序实数对，其中a，b分别是集合A，B中任取的一个整数，求“a－b∈A∪B”的概率．由几何概型的概率公式得P1＝39＝13.(2)依题意，(a，b)的所有可能的结果一共有以下20种：(－3，－1)，(－3,0)，(－3,1)，(－3,2)，(－3,3)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(－1,3)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，A组专项基础训练123456789109．已知集合A＝{x|x2＋3x－40}，B＝xx＋2x－40.(1)在区间(－4,5)上任取一个实数x，求“x∈A∩B”的概率；(2)设(a，b)为有序实数对，其中a，b分别是集合A，B中任取的一个整数，求“a－b∈A∪B”的概率．又A∪B＝{x|－4x4}，因此“a－b∈A∪B”的所有可能的结果一共有以下14种：(－3，－1)，(－3,0)，(－2，－1)，(－2,0)，(－2,1)，(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)．所以“a－b∈A∪B”的概率P2＝1420＝710.A组专项基础训练1234567891010．随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视，为此某市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；A组专项基础训练12345678910③租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；④租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算)．甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2.(1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率；(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．A组专项基础训练解(1)设甲、乙所扣积分分别为x1，x2，由题意可知，P(x1＝0)＝0.5，P(x1＝1)＝0.4，P(x1＝2)＝1－0.5－0.4＝0.1，12345678910P(x2＝0)＝0.6，P(x2＝1)＝0.2，P(x2＝2)＝1－0.6－0.2＝0.2，所以P(x1＝x2)＝P(x1＝x2＝0)＋P(x1＝x2＝1)＋P(x1＝x2＝2)＝0.5×0.6＋0.4×0.2＋0.1×0.2＝0.4.(2)由题意得，变量ξ的所有取值为0,1,2,3,4.P(ξ＝0)＝0.5×0.6＝0.3，P(ξ＝1)＝0.5×0.2＋0.6×0.4＝0.34，P(ξ＝2)＝0.5×0.2＋0.6×0.1＋0.4×0.2＝0.24，A组专项基础训练P(ξ＝3)＝0.4×0.2＋0.2×0.1＝0.1，P(ξ＝4)＝0.1×0.2＝0.02，12345678910所以ξ的分布列为ξ01234P0.30.340.240.10.02Eξ＝0×0.3＋1×0.34＋2×0.24＋3×0.1＋4×0.02＝1.2.B组专项能力提升23451B组专项能力提升234511．三人独立破译同一个密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为15、14、13，且他们是否破译出密码互不影响，设“密码被破译”的概率为P1，“密码未被破译”的概率为P2，则P1，P2的大小关系为()A．P1P2B．P1＝P2C．P1P2D．无法判断解析记“第i个人破译出密码”为事件Ai(i＝1,2,3)，依题意有P(A1)＝15，P(A2)＝14，P(A3)＝13，且A1，A2，A3相互独立．设“密码未被破译”为事件B，1．三人独立破译同一个密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为15、14、13，且他们是否破译出密码互不影响，设“密码被破译”的概率为P1，“密码未被破译”的概率为P2，则P1，P2的大小关系为()A．P1P2B．P1＝P2C．P1P2D．无法判断B组专项能力提升23451A则B＝A1A2A3，且A1，A2，A3互相独立，故P2＝P(B)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝45×34×23＝25，而P1＝1－P(B)＝35，故P1P2.B组专项能力提升234512．一名学生通过某种外语听力测试的概率为13，他连续测试3次，那么，其中恰有一次通过的概率是()A．49B．427C．29D．23解析该名学生测试一次有两种结果：要么通过，要么不通过，他连续测试三次，相当于做了3次独立重复试验，那么，根据n次独立重复试验事件A发生k次的概率公式知，连续测试3次恰有一次获得通过的概率为P＝C13131·1－132＝49.AB组专项能力提升234513．某人随机地将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子中放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫作放对了，否则就叫放错了．设放对的个数为ξ，则ξ的期望Eξ＝________.解析因为P(ξ＝0)＝3×324＝924，P(ξ＝1)＝C14×224＝824，P(ξ＝2)＝C24×124＝624，P(ξ＝4)＝124，所以Eξ＝1×824＋2×624＋4×124＝1.1B组专项能力提升234514．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．解析由题意知，P(ξ110)＝1－2P90≤ξ≤1002＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.10B组专项能力提升234515．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是每场投6个球，至少投进4个球，且最后2个球都投进者获奖，否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望；(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率；(3)已知教师乙在一场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在一场比赛中获奖的概率；教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？B组专项能力提升23451解(1)由题意，知X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6.依条件可知X～B6，23.P(X＝k)＝Ck623k·136－k(k＝0,1,2,3,4,5,6)．所以X的分布列为X0123456P1729127296072916072924072919272964729所以X的数学期望EX＝1729×(0×1＋1×12＋2×60＋3×160＋4×240＋5×192＋6×64)＝2916729＝4.B组专项能力提升23451(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则P(A)＝C24×132×234＋C14×13×