高中数学-3.1空间向量基本定理课件-新人教B版选修2-1

空间向量的基本定理1、平行向量基本定理复习对于任意两个向量，则向量与共线的充要条件是存在实数,使得a(0)aba¹，blbal=2.平面向量基本定理如果是平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1,λ2，使得12,eea1122aeell=+这表明:平面内任一向量可以用该平面内的两个不共线向量线性表示.我们把不共线的两个向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.12,ee新定义共面向量：/./aaa向量平行于平如果向量在平面内或平行于，称，记作平行于同一平面的向量，叫做的基线共面向量面aa对于两个不共线向量,则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y),使得,abc,ab3.共面向量定理cxayb=+共面向量也称线性相关。我们怎样表示空间向量中的任一向量呢?(1)两个不共线向量能否表示空间任一向量?通过平面向量基本定理来类似地推出空间向量基本定理.猜想:空间向量基本定理的内容是什么?(2)空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗?空间向量分解定理:建构数学:,,(,,)abcpxyz如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，的有序实数组，使存在惟一pxaybzc=++如果三个向量不共面,那么对空间任一向量,存在唯一有序实数组(x,y,z),使得．OAP’A’CBB’P证明:（1）先证存在性，，，，作过空间一点是三个不共面的向量，，，设pOPeOCeOBeOAOeee321321过点P作直线PP’∥OC，交平面OAB于点P’；在平面OAB内，过点P’作直线P’A’∥OB，P’B’∥OA，分别交直线OA，OB于点A’，B’.空间向量分解定理:321ezeyexp123,,eeep存在实数则(x,y,z),使,1OAxOAxe,2OByOBye,3OCzOCze123pxeyezeC’(2)再证惟一性用反证法2.假设存在实数组,使212223,pxeyeze=++123xeyeze++所以2xx¹212223()()()0xxeyyezze-+-+-=即因212223xeyeze=++2212322yyzzeeexxxx--=----123,,eee从而共面,这与123,,eee不共面矛盾,所以有序实数组(x,y,z)惟一.222(,,)xyz2xx¹空间向量分解定理:建构数学(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.123123{,,},,eeeeee基底—---基向量，使的有序实数组，那么对空间任一向量不共面，如果三个向量),,(,,321zyxpeee存在唯一321ezeyexp强调：对于基底123{,,}eee1231,,eee（)不共面123,,30eee（）中能否有?(4)基底指一个向量组，基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念。如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直,那么这个基底叫正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时,称为单位正交基底，通常用{},,ijk建构数学:1.可以根据空间向量的基本定理确定空间任意一点的位置。这样，就建立了空间任意一点与惟一的有序实数组（x、y、z）之间的关系，从而为空间向量的坐标运算作准备，也为用向量方法解决几何问题提供了可能。2.推论中若x+y+z=1，则必有P、A、B、C四点共面.OABCP,(xyz)OPxOAyOBzOC推论：设、、、是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的有序实数组，，，使得＝＋＋推论说明：数学运用？构成空间的另一个基底以与向量中选哪个向量，一定可是空间的一个基底，从、已知向量例baqbapcbacba,,,,,1有什么关系？那么点构成空间的一个基底不为空间四点，且向量、判断：CBAOOCOBOACBAO,,,,,,,,,21,abab、如果与任何向量都不能构成空间的一个基底，则与有什么关系？练习共线共面ccababcab向量，因为如果与，共面，那么与，共面，这与已知矛盾。例2、如下图,在正方体OADB-CA’D’B’中,点E是AB与OD的交点,M是OD’与CE的交点,试分别用向量OA,OB,OC表示向量OD’和OM。A’ADD’B’OCBE数学运用M,,,,的中点分别是空间四边形BCOANMOABC,,,cOCbOBaOA设MN）（2，满足点ENMEE2表示下列向量用,,,cbaOE）（3,的重心是ABCGOG）（1思考（用基底表示）。基底，求为一个，，的中心，以向量和是、的六边都相等，、如图所示，四面体练习21213OOADACABACDBCDOOABCDO1O2DECBA解：由正三角形的性质知BO1=2O1E，AO2=2O2E∴O1O2∥AB，且O1O2=1/3AB。121OOBA31AB0AC0AD34、如图，在空间四边形OABC中，已知E,F分别是BC,OA的中点，G在AE上，且AG=2GE，试用向量OA、OB、OC表示向量.GECBAO(2)OG(1)EFF小结:空间向量基本定理:，使的有序实数组，向量那么对空间任一不共面，如果三个向量),,(,,321zyxpeee存在惟一123pxeyeze=++OABCP,(xyz)OPxOAyOBzOC推论：设、、、是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的有序实数组，，，使得＝＋＋当x+y+z=1时，必有P、A、B、C四点共面.