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2．5向量的应用学习目标预习导学典例精析栏目链接1．体会用向量方法解决几何问题，物理问题的过程．2．掌握用向量方法解决实际问题的“三步曲”．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析学习目标预习导学典例精析栏目链接力的合成与分解在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如图所示的数学模型．只要分析清楚F、G、θ三者之间的关系(其中F为F1、F2的合力)，就得到了问题的数学解释．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：不妨设|F1|＝|F2|，由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F1|＝|G|2cosθ2.通过上面的式子，我们发现：当θ由0°到180°逐渐变大时，θ2由0°到90°逐渐变大，cosθ2的值由大逐渐变小，因此|F1|由小逐渐变大，即F1，F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．学习目标预习导学典例精析栏目链接◎规律总结：本例是日常生活中经常遇到的问题，学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上的经验，要从数学角度进行解释，首先应当将实际现象抽象为数学模型，这就是本例分析中所完成的事情，得到模型后就可以发现，这是一个简单的向量问题，接下来结合向量知识、利用余弦函数的单调性解决问题．学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练1．如下图所示，用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是________．解析：设绳子拉力为F，则2|F|cos60°＝10，故有F＝10.答案：10N学习目标预习导学典例精析栏目链接速度向量的合成与分解在风速为75(6－2)km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．分析：设w＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，则vb＝va－w.解析：如上图所示，∵vb＝va－w，∴vb、va、w构成三角形．|AB→|＝|va|，|CB→|＝|w|，|AC→|＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°.设|AB→|＝150，则|CB→|＝75(6－2)．∴|CD→|＝|BE→|＝|EA→|＝752，|DA→|＝756.从而|AC→|＝1502，∠CAD＝30°.∴vb＝1502km/h，方向为西偏北30°.◎规律总结：(1)求力向量、位移向量、速度向量常用的方法是向量几何法，借助于向量的三角形法则与平行四边形法则求解．(2)用向量方法解决物理问题的步骤是：第一步，把物理问题中的相关量用向量表示；第二步，转化为向量问题的模型，通过向量运算使问题解决；第三步，结果还原为物理问题．变式训练2．一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水的流速为2km/h，则经过3小时，该船的实际航程为________．解析：设船速为v1，水流速度为v2，则|v1|＝4，|v2|＝2，v1与v2的夹角为120°.故该船实际航行速度v＝v1＋v2.∴|v|2＝|v1＋v2|2＝(v1＋v2)2＝|v1|2＋|v2|2＋2v1·v2＝16＋4＋2×4×2cos120°＝12.∵t＝3h，∴船的航程S＝|v|·t＝23×3＝6(km)．答案：6km学习目标预习导学典例精析栏目链接向量法解决几何中的平行问题证明：梯形两对角线中点的连线与两底边平行．分析：证明线段平行，也就是证明向量共线，证明a，b两向量共线，即是想办法证明a＝λb.证明：如右图所示，AC、BD是梯形ABCD的对角线，E、F分别为BD、AC的中点．设AB→＝a，AD→＝b，∵AD∥BC，∴BC→＝λAD→＝λb，则BD→＝AD→－AB→＝b－a.∵E为BD中点，∴BE→＝12BD→＝12(b－a)．∵F为AC中点，∴BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋12CA→＝BC→＋12(BA→－BC→)＝12(BA→＋BC→)＝12(BC→－AB→)＝12(λb－a)．∴EF→＝BF→－BE→＝12(λb－a)－12(b－a)＝12λ－12b.∵b＝1λBC→，∴EF→＝12λ－12·1λBC→＝12－12λBC→.∴EF→∥BC→，即EF∥BC.变式训练3．如图，已知AD、BE、CF是△ABC的三条高，DG⊥BE于点G，DH⊥CF于点H.求证：GH∥EF.分析：要证HG∥EF，可设法证明EF→＝λHG→(其中λ≠0)．证明：∵DG→⊥BE→，AC→⊥BE→，∴DG→∥AC→.设OA→＝λOD→(λ≠0)，则AE→＝λDG→，同理AF→＝λDH→.于是FE→＝AE→－AF→＝λ(DG→－DH→)＝λHG→，∴HG→∥FE→，即HG∥FE.学习目标预习导学典例精析栏目链接向量法证垂直问题如图，等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中点，E是AB上的点，且AE＝2EB，求证：AD⊥CE.分析：将证AD⊥CE转化为证AD→·CE→＝0.利用向量的加法运算，可将向量AD→、CE→分别用△ABC三边上的向量表示，结合数量积的运算性质求证结论．证明：AD→·CE→＝(AC→＋CD→)·(CA→＋AE→)＝AC→·CA→＋AC→·AE→＋CD→·CA→＋CD→·AE→＝－(AC→)2＋AC→·23AB→＋12CB→·23AB→＝－|AC→|2＋23|AC→||AB→|cos45°＋13|CB→||AB→|·cos45°＝－|AC→|2＋23·|AC→|·2·|AC→|·22＋13·|AC→|·2·|AC→|·22＝－|AC→|2＋23|AC→|2＋13|AC→|2＝0.∴AD→⊥CE→，即AD⊥CE.变式训练4．已知O为△ABC所在平面内一点，满足|OA→|2＋|BC→|2＝|CA→|2＋|OB→|2＝|OC→|2＋|AB→|2，试证明：点O是△ABC的重心．证明：设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则BC→＝c－b，CA→＝a－c，AB→＝b－a.∵|OA→|2＋|BC→|2＝|CA→|2＋|OB→|2，∴a2＋(c－b)2＝b2＋(a－c)2.∴c·b＝a·c，即c·(b－a)＝0.∴OC→·AB→＝0，故AB→⊥OC→.同理CA→⊥OB→，BC→⊥OA→.故点O是△ABC的重心．向量在解析几何中的应用直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，若OA→与OB→夹角的余弦值为－14(O为坐标原点)．则a＝________．解析：利用向量夹角的坐标公式解题．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA→＝(x1，y1)，OB→＝(x2，y2)且|OA→|＝|OB→|＝2，∴cos〈OA→，OB→〉＝x1x2＋y1y2|OA→|·|OB→|＝x1x2＋y1y22×2＝x1x2＋y1y24＝－14.∴x1x2＋y1y2＝－1.又∵x1x2＋y1y2＝x1x2＋(a－x1)(a－x2)＝2x1x2－a(x1＋x2)＋a2，联立方程组x＋y＝a，x2＋y2＝4，化简得：2x2－2ax＋a2－4＝0.由韦达定理得：x1＋x2＝a，x1·x2＝a2－42.∴x1x2＋y1y2＝a2－4－a·a＋a2＝－1.∴a2＝3.∴a＝±3.满足Δ＞0，故填±3.答案：±3方法指导：向量的起点为坐标原点时，向量的坐标即为点的坐标．变式训练5．已知坐标平面内OA→＝(1，5)，OB→＝(7，1)，OM→＝(1，2)，P是直线OM上的一个动点，当PA→·PB→取最小值时，求OP→的坐标，并求出cos∠APB的值．分析：由点P在直线OM上，可设P(t，2t)，这是解决问题的突破口，然后将PA，PB用坐标表达出来后，转化为代数运算即可．解析：设P(t，2t)，即PA→＝(1－t，5－2t)，PB→＝(7－t，1－2t)，∴PA→·PB→＝(1－t，5－2t)·(7－t，1－2t)＝5t2－20t＋12.令f(t)＝5t2－20t＋12，则f(t)＝5(t－2)2－8，∴当t＝2时，f(t)的最小值为－8，此时cos∠APB＝PA→·PB→|PA→||PB→|＝－82×34＝－41717.因而，当PA→·PB→最小时，OP→＝(2，4)，此时cos∠APB＝－41717.