搜索
3．1.1两角和与差的余弦学习目标预习导学典例精析栏目链接1．理解两角差的余弦公式的推导与证明过程，并能利用它推导出两角和的余弦公式．2．掌握两角和与差的余弦公式，熟悉公式的结构特征及其功能．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析学习目标预习导学典例精析栏目链接利用公式求值已知sinα＝－35，sinβ＝1213，且π＜α＜3π2，π2＜β＜π，求cos(α－β)，cos(α＋β)．分析：解答本题的方法主要是公式的直接运用，在解答过程中要注意角的取值范围．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：∵sinα＝－35，π＜α＜3π2，∴cosα＝－45.∵sinβ＝1213，π2＜β＜π，∴cosβ＝－513.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－45×－513＋－35×1213＝－1665，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－45×－513－－35×1213＝5665.学习目标预习导学典例精析栏目链接方法指导：应用两角和的余弦公式易出现的错误有两点：(1)cos(α＋β)＝cosα＋cosβ；(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.第一点是认识上的错误，只凭想当然认识公式，第二点是公式记忆上的错误．变式训练1．求值：cos(α＋25°)cos(α－20°)＋sin(α＋25°)·sin(α－20°)．分析：逆用公式，要注意公式的结构特点．解析：原式＝cos[(α＋25°)－(α－20°)]＝cos45°＝22.学习目标预习导学典例精析栏目链接利用角的变换求值已知cos(α－β)＝－45，cos(α＋β)＝45，且90°＜α－β＜180°，270°＜α＋β＜360°，求cos2β的值．分析：分别视α－β，α＋β为角的整体，则2β＝(α＋β)－(α－β)，运用两角差的余弦公式．解析：∵cos(α－β)＝－45，且90°＜α－β＜180°，∴sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝1－－452＝35.又∵cos(α＋β)＝45，且270°＜α＋β＜360°，∴sin(α＋β)＝－1－cos2（α＋β）＝－1－452＝－35.∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝45×－45＋－35×35＝－1.变式训练2．已知π2＜β＜α＜34π，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos2α的值．解析：∵π2＜β＜α＜34π，∴0＜α－β＜π4.∴sin(α－β)＝513.而π＜α＋β＜32π，∴cos(α＋β)＝－45.∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝1213×－45－513×－35＝－3365.学习目标预习导学典例精析栏目链接公式的活用已知cosx＋cosy＝12，sinx－siny＝13，求cos(x＋y)的值．分析：由于cos(x＋y)＝cosxcosy－sinxsiny，当cosx，cosy，sinx，siny不易求的时候，有时可考虑整体构造出含cosxcosy，sinxsiny的式子，进而逆用公式求之．解析：两式平方和：cos2x＋2cosxcosy＋cos2y＋sin2x－2sinxsiny＋sin2y＝14＋19，即2＋2(cosxcosy－sinxsiny)＝1336，∴2＋2cos(x＋y)＝1336.∴cos(x＋y)＝－5972.变式训练3．若sinx＋siny＝22，求cosx＋cosy的取值范围．解析：令cosx＋cosy＝m，则(sinx＋siny)2＋(cosx＋cosy)2＝12＋m2，即2＋2(cosxcosy＋sinxsiny)＝12＋m2，∴cos(x－y)＝12m2－34.∵－1≤cos(x－y)≤1，∴－1≤12m2－34≤1.∴－142≤m≤142.∴cosx＋cosy的取值范围是－142，142.