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3．1.3两角和与差的正切学习目标预习导学典例精析栏目链接1．能用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．熟练掌握两角和与差的正切公式的正用、逆用及变形后的应用．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析学习目标预习导学典例精析栏目链接求值已知△ABC中，tanA，tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个根，则tanC＝________．解析：结合A＋B＝π－C，能够把两角和的正切与韦达定理联系起来．tanC＝－tan(A＋B)＝tanA＋tanBtanAtanB－1＝2.答案：2学习目标预习导学典例精析栏目链接已知tanα＝13，tanβ＝－2.(1)求tan(α－β)的值；(2)求α＋β的值(其中0°＜α＜90°＜β＜180°)．学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：(1)直接利用公式T(α－β)，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝13＋21＋13×（－2）＝7.(2)∵0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，∴90°＜α＋β＜270°.又∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝13＋（－2）1－13×（－2）＝－1，∴α＋β＝135°.◎规律总结：对这类求角问题可以归纳如下：(1)确定所求的角范围；(2)求出这个角的某一个三角函数的值(根据题目的条件及角的范围选取三角函数，目的是角与函数值对应的单一性)；(3)确定角的大小．变式训练1．计算：1－tan75°1＋tan75°.分析：tan45°＝1，原式可以看成1－tan45°tan75°tan45°＋tan75°，这样就可以运用正切的和角公式．解析：原式＝1－tan45°tan75°tan45°＋tan75°＝1tan（45°＋75°）＝1tan120°＝1tan（180°－60°）＝1－tan60°＝－33.学习目标预习导学典例精析栏目链接公式的变用、活用计算tan65°＋tan70°－tan65°tan70°的值．分析：注意到65°＋70°＝135°，自然联想两角和的正切公式．解析：∵－1＝tan135°＝tan(65°＋70°)＝tan65°＋tan70°1－tan65°tan70°.∴－1＋tan65°tan70°＝tan65°＋tan70°.∴原式＝－1.方法指导：你能计算1－tan15°1＋tan15°吗？可通过1＝tan45°的代换，逆用两角差的正切公式．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，且BD∶DC∶AD＝2∶3∶6，求∠BAC的度数．分析：通过直角三角形边角关系，求出tan∠BAD与tan∠CAD的值，然后利用两角和的正切公式求出∠BAC.解析：设BD＝2x(x＞0)，则DC＝3x，AD＝6x，∴tan∠BAD＝BDAD＝2x6x＝13，tan∠CAD＝CDAD＝3x6x＝12.∴tan∠BAC＝tan(∠BAD＋∠CAD)＝tan∠BAD＋tan∠CAD1－tan∠BAD·tan∠CAD＝13＋121－13·12＝1，∵0＜∠BAD＜π2，0＜∠CAD＜π2，∴0＜∠BAC＜π.∴∠BAC＝π4.方法指导：我们已经知道斜△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC．那么△ABC中，tanA2＋tanB2＋tanB2＋tanC2＋tanC2＋tanA2＝1成立吗？变式训练2．已知(tanα－1)(tanβ－1)＝2，若α，β都是锐角，求α＋β的值．解析：∵(tanα－1)(tanβ－1)＝2，∴tanαtanβ－tanα－tanβ＝1.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－1.又∵α、β为锐角，∴0α＋βπ.∴α＋β＝3π4.