步步高中档题目强化练——三角函数、解三角形

数学北（理）第四章三角函数、解三角形中档题目强化练——三角函数、解三角形23456789110A组专项基础训练234567891101．已知角A是△ABC的一个内角，若sinA＋cosA＝713，则tanA等于()A．－125B．712C．－712D．125解析由sinA＋cosA＝713，sin2A＋cos2A＝1，得sinA＝1213，cosA＝－513或sinA＝－513，cosA＝1213(舍去)，∴tanA＝－125.A组专项基础训练AA组专项基础训练234567891102．函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图像关于直线x＝π4对称，则φ的可能取值是()A．3π4B．－3π4C．π4D．π2解析∵y＝cosx＋2的对称轴为x＝kπ(k∈Z)，∴x＋φ＝kπ(k∈Z)，即x＝kπ－φ(k∈Z)，A令π4＝kπ－φ(k∈Z)得φ＝kπ－π4(k∈Z)，在四个选项中，只有3π4满足题意．A组专项基础训练234567891103．已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω0)的图像关于直线x＝π12对称，且fπ3＝0，则ω的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析由题意知ω·π12＋φ＝k1π，ω·π3＋φ＝k2π＋π2，A其中k1，k2∈Z，两式相减可得ω＝4(k2－k1)＋2，又ω0，易知ω的最小值为2.故选A.A组专项基础训练234567891104．设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)－3sin(ωx＋φ)(ω1，|φ|π2)，且其图像相邻的两条对称轴为x1＝0，x2＝π2，则()A．y＝f(x)的最小正周期为π，且在0，π2上为增函数B．y＝f(x)的最小正周期为π，且在0，π2上为减函数C．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为增函数D．y＝f(x)的最小正周期为2π，且在(0，π)上为减函数A组专项基础训练解析由已知条件得f(x)＝2cosωx＋φ＋π3，23456789110由题意得T2＝π2，∴T＝π.∴T＝2πω，∴ω＝2.又∵f(0)＝2cosφ＋π3，x＝0为f(x)的对称轴，∴f(0)＝2或－2，又∵|φ|π2，∴φ＝－π3，此时f(x)＝2cos2x，在0，π2上为减函数，故选B.答案BA组专项基础训练234567891105．已知函数f(x)＝3sin2x＋cos2x－m在0，π2上有两个零点，则m的取值范围是()A．(1,2)B．[1,2)C．(1,2]D．[1,2]解析利用三角函数公式转化一下，得f(x)＝2sin(2x＋π6)－m，它的零点是函数y1＝2sin(2x＋π6)和y2＝m的交点所对应的x的值，∴要在0，π2上有两个零点，y1和y2就要有两个交点，结合函数y1＝2sin2x＋π6在0，π2上的图像，知道当y2＝m在[1,2)上移动时，两个函数有两个交点．BA组专项基础训练234567891106．已知△ABC的面积为32，AC＝3，∠ABC＝π3，则△ABC的周长等于________．3＋3解析S＝12acsin∠ABC＝32，得ac＝2；①根据余弦定理cos∠ABC＝a2＋c2－b22ac，得a2＋c2＝5.②由①②可求得a＋c＝3，则三角形周长可求．A组专项基础训练234567891107．函数y＝tan2x＋π6的对称中心为__________________．解析∵y＝tanx(x≠π2＋kπ，k∈Z)的对称中心为kπ2，0(k∈Z)，－π12＋kπ4，0(k∈Z)∴可令2x＋π6＝kπ2(k∈Z)，解得x＝－π12＋kπ4(k∈Z)．因此，函数y＝tan2x＋π6的对称中心为－π12＋kπ4，0(k∈Z)．A组专项基础训练234567891108．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图所示，fπ2＝－23，则f(0)＝________.解析由图像，可知所求函数的最小正周期为2π3，故ω＝3.从函数图像可以看出这个函数的图像关于点7π12，0中心对称，也就是函数f(x)满足f7π12－x＝－f7π12＋x，当x＝π12时，得fπ2＝－f2π3＝－f(0)，故得f(0)＝23.23.A组专项基础训练234567891109．(2013·重庆)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋3bc.(1)求A；(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．解(1)由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3bc2bc＝－32.又因为0Aπ，所以A＝5π6.(2)由(1)得sinA＝12，又由正弦定理及a＝3得S＝12absinC＝12·asinBsinA·asinC＝3sinBsinC，9．(2013·重庆)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a2＝b2＋c2＋3bc.(1)求A；(2)设a＝3，S为△ABC的面积，求S＋3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值．A组专项基础训练23456789110因此，S＋3cosBcosC＝3(sinBsinC＋cosBcosC)＝3cos(B－C)．所以，当B＝C，即B＝π－A2＝π12时，S＋3cosBcosC取最大值3.A组专项基础训练10．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，ω0,0φπ2)的图像与x轴的相交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M2π3，－2.(1)求f(x)的解析式；(2)当x∈π12，π2时，求f(x)的值域．23456789110A组专项基础训练23456789110解(1)由最低点为M2π3，－2，得A＝2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得，T2＝π2，即T＝π，所以ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M2π3，－2在函数f(x)的图像上，得2sin2×2π3＋φ＝－2，即sin4π3＋φ＝－1.故4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，所以φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．又φ∈0，π2，所以φ＝π6，故f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.A组专项基础训练23456789110(2)因为x∈π12，π2，所以2x＋π6∈π3，7π6.当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取得最小值－1.故函数f(x)的值域为[－1,2]．B组专项能力提升23451B组专项能力提升234511．若0≤sinα≤22，且α∈[－2π，0]，则α的取值范围是()A．－2π，－7π4∪－5π4，－πB．－2π＋2kπ，－7π4＋2kπ∪－5π4＋2kπ，－π＋2kπ(k∈Z)C．0，π4∪3π4，πD．2kπ，2kπ＋π4∪2kπ＋3π4，2kπ＋π(k∈Z)B组专项能力提升解析根据题意并结合正弦线可知，α满足2kπ，2kπ＋π4∪2kπ＋3π4，2kπ＋π(k∈Z)，23451∵α∈[－2π，0]，∴α的取值范围是－2π，－7π4∪－5π4，－π.故选A.答案AB组专项能力提升234512．同时具有下列性质：“①对任意x∈R，f(x＋π)＝f(x)恒成立；②图像关于直线x＝π3对称；③在－π6，π3上是增函数”的函数可以是()A．f(x)＝sinx2＋π6B．f(x)＝sin2x－π6C．f(x)＝cos2x＋π3D．f(x)＝cos2x－π6B组专项能力提升23451解析依题意，知满足条件的函数的一个周期是π，以x＝π3为对称轴，且在－π6，π3上是增函数．对于A，其周期为4π，因此不正确；对于C，fπ3＝－1，但该函数在－π6，π3上不是增函数，因此C不正确；对于D，fπ3≠±1，因此D不正确．答案BB组专项能力提升234513．已知函数f(x)＝2sinx，g(x)＝2sinπ2－x，直线x＝m与f(x)，g(x)的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为________．22解析构造函数F(x)＝2sinx－2cosx＝22sinx－π4，故最大值为22.B组专项能力提升234514．曲线y＝2sinx＋π4cosx－π4与直线y＝12在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|＝________.π解析y＝2sinx＋π4cosx－π4＝2sinx＋π4·cosx＋π4－π2＝2sin2x＋π4＝1－cos2x＋π2＝1＋sin2x，|P2P4|恰为一个周期的长度π.5．已知函数f(x)＝3(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设x∈－π3，π3，求f(x)的值域和单调递增区间．B组专项能力提升23451解(1)∵f(x)＝－3(cos2x－sin2x)－2sinxcosx＝－3cos2x－sin2x＝－2sin2x＋π3，∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵x∈－π3，π3，∴－π3≤2x＋π3≤π.∴－32≤sin2x＋π3≤1.5．已知函数f(x)＝3(sin2x－cos2x)－2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设x∈－π3，π3，求f(x)的值域和单调递增区间．B组专项能力提升23451∴f(x)的值域为[－2，3]．∵当y＝sin2x＋π3递减时，f(x)递增，令2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2，k∈Z，则kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12，k∈Z，又x∈－π3，π3，∴π12≤x≤π3.故f(x)的单调递增区间为π12，π3.