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2．3.2平面向量的坐标运算学习目标预习导学典例精析栏目链接1．理解平面向量的坐标表示．2．掌握平面向量的加、减、数乘运算的坐标表示．学习目标预习导学典例精析栏目链接典例剖析学习目标预习导学典例精析栏目链接利用向量的坐标表示求点的坐标点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为()A．(－2，4)B．(－30，25)C．(10，－5)D．(5，－10)解析：由已知OP→＝(－10，10)，设运动后到点Q，则PQ→＝5(4，－3)＝(20，－15)，那么点Q的坐标为(20－10，10－15)＝(10，－5)．答案：C学习目标预习导学典例精析栏目链接变式训练1．已知AB→＝(5，－3)，C(－1，3)，CD→＝2AB→，则点D的坐标为()A．(11，9)B．(4，0)C．(9，3)D．(9，－3)学习目标预习导学典例精析栏目链接解析：设D(x，y)，∵C(－1，3)，∴CD→＝(x＋1，y－3)．又∵AB→＝(5，－3)，CD→＝2AB→，∴(x＋1，y－3)＝2(5，－3)＝(10，－6)．∴x＋1＝10，y－3＝－6，即x＝9，y＝－3.∴D(9，－3)，故选D.答案：D学习目标预习导学典例精析栏目链接平面向量的坐标运算已知向量a＝(1，2)，b＝(2，3)，c＝(3，4)，且c＝λ1a＋λ2b，则λ1，λ2的值分别为()A．－2，1B．1，－2C．2，－1D．－1，2解析：∵c＝λ1a＋λ2b，∴(3，4)＝λ1(1，2)＋λ2(2，3)＝(λ1＋2λ2，2λ1＋3λ2)．∴λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，即λ1＝－1，λ2＝2.答案：D方法指导：本题实际上就是平面向量基本定理的坐标表示的一种展示，解决问题的方法通常采用待定系数法．变式训练2．已知点A(2，3)、B(5，4)、C(7，10)．求AB→＋2BC→－3AC→的坐标．解析：∵A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，∴AB→＝(3，1)，BC→＝(2，6)，AC→＝(5，7)．∴AB→＋2BC→－3AC→＝(3，1)＋2(2，6)－3(5，7)＝(3，1)＋(4，12)－(15，21)＝(7，13)－(15，21)＝(－8，－8)．学习目标预习导学典例精析栏目链接向量平行的坐标表示问题已知a＝(3，－2)，b＝(－10，9)，当k为何值时，ka＋b与2a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？分析：先把ka＋b，2a－3b化简成坐标形式，根据b＝λa，求出相应的λ，从而判断是同向还是反向，或直接利用ka＋b＝λ(2a－3b)来求λ，从而判断同向还是反向．解析：方法一ka＋b＝k(3，－2)＋(－10，9)＝(3k－10，－2k＋9)，2a－3b＝2(3，－2)－3(－10，9)＝(36，－31)．当ka＋b与2a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(2a－3b)．由(3k－10，－2k＋9)＝λ(36，－31)，∴3k－10＝36λ，－2k＋9＝－31λ.解得k＝－23，λ＝－13.当k＝－23时，ka＋b与2a－3b平行，这时ka＋b＝－23a＋b.∵λ＝－13＜0，∴－23a＋b与2a－3b反向．方法二由方法一知ka＋b＝(3k－10，－2k＋9)，2a－3b＝(36，－31)，因(ka＋b)∥(2a－3b)，∴(3k－10)×(－31)－36×(－2k＋9)＝0.解得k＝－23.此时ka＋b＝－63－10，43＋9＝－363，313＝－13(36，－31)＝－13(2a－3b)．∴当k＝－23时，ka＋b与2a－3b平行并且反向．方法指导：两向量平行条件的两种形式在解题时可根据情况适当选用．变式训练3．已知向量OA→＝(k，12)，OB→＝(4，5)，OC→＝(－k，10)，且A、B、C三点共线，则k＝________．解析：由已知可求得BA→＝(k－4，7)，CA→＝(2k，2)．由A、B、C三点共线，有(k－4)·2－7·2k＝0，解得k＝－23.答案：－23