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成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索北师大版·选修2-3计数原理第一章§4简单计数问题第一章课堂典例探究2课时作业3课前自主预习1课前自主预习能选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，应用有关排列、组合的知识解决一些简单的实际问题．本节重点：两个计数原理、排列组合知识．本节难点：用好两个计数原理和排列、组合的知识.1.从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素后，剩下n－m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n－m个元素的每一个组合_________，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n－m个元素的组合数，即：__________.一一对应Cmn＝Cn－mn2．从a1，a2，…，an＋1这n＋1个不同的元素中取出m个的组合数是_____，这些组合可分为两类：一类含有a1，一类不含a1，含有a1的组合数是Cm－1n，不含a1的组合数是Cmn，由分类计数原理，得______________.3．排列应用题的最基本的解法有：直接法：以_____为考察对象，先满足__________的要求，再考虑__________(又称元素分析法)；或以_____为考察对象，先满足__________的要求，再考虑__________(又称位置分析法)．Cmn＋1Cmn＋1＝Cm－1n＋Cmn元素特殊元素其他元素位置特殊位置其他位置4．间接法：先不考虑附加条件，计算出__________________，再减去___________________________．5．解排列组合综合问题，应遵循三大原则：先_____后一般，先分组后排列，先_____后分步的原则．充分考虑元素的性质，进行合理的分类和分步．寻找并理解“关键词”的含义及其等价问题，善于将实际问题转化为__________的基本模型．在解题过程中要特别注意培养思维的条理性、深刻性和灵活性．6．几何图形的问题：一定要注意图形自身对其构成元素的限制，解决这类问题常用间接法(或说是排除法).全部元素的排列顺序不符合要求的元素的排列顺序特殊分类排列组合1.直接法可先考虑某个元素可在某个位置，或者某个位置可填某个元素．而间接法，先不考虑特殊性，从总数中减去不适合条件的．2．解决相邻或不相邻问题的方法(1)捆绑法：解决“若干元素相邻”的排列问题，一般使用捆绑法，也就是将相邻的若干元素“捆绑”在一起，看作一个大元素，与其他的元素进行全排列；然后再“松绑”，将被“捆绑”的若干个元素内部进行全排列．(2)插空法：解决“若干元素不相邻”，也就是“若干元素间隔”的排列问题时，往往先排列好个数较少的元素，再让其余元素插排在它们之间或两端的空位中．否则，若先排个数较多的元素，再让其余元素插空排列时，往往个数较多的元素有相邻的情况．插空法与捆绑法有同等作用．3．常用的解答组合问题的方法有很多，有分类法、直接法、间接法等常用的方法，还有插空法及隔板法等特殊方法．要解决组合问题，还可用到构造数学模型等方法．不同的方法用以解决不同的问题，要掌握好各种方法及方法应用的背景．4．有关组合问题的题目的背景常以“几何问题”、“产品质量抽样检测问题”、“集合问题”、“人或物的有关分配问题”等形式出现．处理问题时常常利用分类思想．在解组合问题及组合与排列的综合问题时，要注意准确地应用两个基本原理；要注意准确区分是排列问题还是组合问题；要注意在利用直接法解题的同时，也要根据问题的实际恰当地利用间接法解题．5．排列与组合的区别与联系：(1)根据排列与组合的定义，前者是从n个不同元素中取出m个不同元素后，还要按照一定的顺序排成一列，而后者只要从n个不同元素中取出m个不同元素并成一组，所以区分某一问题是排列还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换任意两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，而交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列与选取元素的顺序有关，组合与选取元素的顺序无关．(2)排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素”，而不同点在于元素取出以后，是“排成一排”，还是“组成一组”．其实质就是取出的元素是否存在顺序上的差异．因此，区分排列问题和组合问题的主要标志是：是否与元素的排列顺序有关，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题，例如123、321和132是不同的排列，但它们都是相同的组合．再如两人互寄一次信是排列问题，互握一次手则是组合问题．(3)排列数与组合数的联系．求从n个不同元素中取出m个元素的排列数Amn，可以分为以下两步：第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数Cmn；第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数Amm根据分步乘法计数原理，得到Amn＝CmnAmm.从这一过程中可得出排列与组合的另一重要联系．从而，在解决排列问题时，先取后排是一个常见的解题策略．6．解排列与组合应用题时，首先应抓住是排列问题还是组合问题．界定排列与组合问题是排列还是组合，唯一的标准是“顺序”，有序是排列问题，无序是组合问题．当排列与组合问题综合到一起时，一般采用先考虑组合后考虑排列的方法解答．其次要搞清需要分类，还是需要分步．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数公式和组合数公式的基础，而且其应用贯穿于排列与组合的始终．学好两个计数原理是解决排列与组合应用题的基础．切记：排组分清(有序排列、无序组合)，加乘明确(分类为加、分步为乘).1.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为()A．100B．110C．120D．130[答案]B[解析]10人中任选3人的组队方案数为C310＝120，没有女生的组队方案数为C35＝10，所以符合要求的组队方案数为120－10＝110.2．(2014·山西太原五中月考)如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有()A．50种B．51种C．140种D．141种[答案]D[解析]按第二天到第七天选择持平次数分类得C66＋C46A22＋C26C24C22＋C06C36C33＝141种．3．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A．72B．96C．108D．144[答案]C[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)故共有72＋36＝108个．4．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．[答案]264[解析]由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，则A44；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如甲乙丙丁上午台阶身高立定肺活量下午，下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有2种，甲测“身高”、“立定”、“肺活量”中一种，则3×3＝9，故A44(2＋9)＝264种．5．甲、乙、丙三人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．[答案]336[解析]由题意分类计数：若7个台阶上每一个台阶只站一人，则“3人站到7级的台阶上”有A37种不同的站法；若选用2个台阶，有一个台阶站2人，另一个站1人，则“3人站到7级的台阶上”有C13A27种不同的站法．因此不同的站法种数是A37＋C13A27＝336.课堂典例探究如图所示，现有4种颜色给四川、青海、西藏、云南四省(区)的地图染色，每一个省(区)只染一种颜色，要求相邻的省(区)染不同的色，则不同的染色方法有多少种？与染色有关的计数问题[分析]可以根据所用颜色种数对所染元素进行分类染色，也可根据据所需染色元素进行分类，逐个染色．[解析]方法一：满足题设条件的染色，至少需要3种颜色．①若用3种颜色，则青海与云南染同色，可把两省(区)看作同一省(区)，共有A34＝24(种)方法；②若用4种颜色，则有A44＝24(种)方法．综上知，共有24＋24＝48(种)染色方法．方法二：逐个给各省(区)染色．给四川染色有4种方法，给青海染色有3种方法，给西藏染色有2种方法，给云南染色有2种方法，根据乘法原理，不同的染色方法共有4×3×2×2＝48(种)．[反思总结]本题考查计数原理与排列数公式的应用，常分为对点、线段的染色和对区域的染色两类，对点、线段的染色要注意依次染色，主要方法有：①根据共用了多少种颜色分类讨论；②根据相对的点或线段是否同色讨论，对区域的染色可以根据所用颜色种数对区域进行染色，也可以对各区域逐个分步染色．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A、B、C、D中，(四种颜色可以不全用也可以全用)要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()ABCDA.72种B．48种C．24种D．12种[答案]A[解析]解法1：(1)4种颜色全用时，有A44＝24种不同涂色方法．(2)4种颜色不全用时，因为相邻矩形不同色，故必须用三种颜色，先从4种颜色中选3种，涂入A、B、C中，有A34种涂法，然后涂D，D可以与A(或B)同色，有2种涂法，∴共有2A34＝48种，∴共有不同涂色方法，24＋48＝72种．解法2：第一步涂A有4种方法，第二步涂B有3种方法，第三步涂C有2种方法，第四步涂D有3种方法，故共有72种方法.几何元素的计数问题在一个正方体中，各棱、各面对角线和体对角线中，共有多少对异面直线？[分析]解答本题可用间接法求解，28条线段任取2条的组合中除去不能构成异面直线的情况．或者构造模型，借助三棱锥中有且仅有3对异面直线来解决．[解析]方法一：一个正方体的棱、面对角线和体对角线共28条．底面、侧面和对角面共12个面，每一个面中，任两条直线都不构成异面直线，8个顶点中过每个顶点的3条面对角线不能构成异面直线，故共有C228－12C26－8C23＝174对异面直线．方法二：因为一个三棱锥的6条棱中有且仅有3对异面直线，而一个正方体的8个顶点中取4个点的取法有C48种，上述12个底面、侧面和对角面每个面的4个顶点不能构成三棱锥，故一个正方体的8个顶点可构成C48－12＝58个三棱锥，所以一个正方体中符合题设要求的异面直线共有3·(C48－12)＝3×58＝174对．[反思总结]几何中的计数问题一般为组合问题，要注意分清“对应关系”：如不共线的三点对应一个三角形，不共面的四点确定一个四面体等．解题时可借助图形帮助思考，并要善于利用几何性质，但要注意共点、共线、共面等特殊情况，避免多算或漏算．四面体的4个顶点和各棱中点，这10个点最多可确定多少个四面体？[解析]本题的实质是从这10个点中任取4个不共面的点，共有多少种不同取法，如图所示，所取出的4点共面的情况有以下三种：第一种：取出的四点在四面体的一个面内，共有4C46种．第二种：取出的四点是一条棱上的三点及对棱的中点，共有6种．第三种：取出的四点所在平面与一组对棱平行，共3种．所以，取4个不共面点的不同取法共有C410－(4C46＋6＋3)＝141(种)，即这10个点最多可以确定141个四面体.利用“隔板法”解决分配问题有10个三好学生名额，分配到高三年级六个班中，每班至少一名，共有多少种不同分法？[解析]先把10个名额并成一排，六个班可用5个“挡板”分开．名额之间有9个空，将5个挡板插入9个空中，每一种插法对应一种分配方案，所以共有C59＝126(种)不同分法．[反思总结]把问题转化为：把n个相同元素分成m个组的分法，这相当于n个相同元素的每两个元素之间共n－1个空，任插m－1个板子的插法数，即Cm－1n－1种．有10个