冲激函数和阶跃函数傅立叶变换

§3.6冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换•主要内容•重点：冲激函数和阶跃函数傅里叶变换•难点：傅立叶变换的推导•冲激函数的傅里叶变换•冲激偶的傅里叶变换•阶跃函数的傅里叶变换（1）冲激函数的傅里叶正变换f(t)=d(t)(1(),1)(0)FF（正实函数）一、冲激函数的傅里叶变换单位冲激函数的频谱等于常数，即：在整个频率范围内频谱是均匀分布的。在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量。称此频谱为“均匀谱”或“白色谱”。0)(t)1(tw01)(wF其傅里叶变换为：（2）冲激函数的傅里叶反变换其傅里叶变换为：直流信号f(t)=E(2))((,)20EFEF（正实函数）)()(wwF求f(t)冲激函数的频谱等于常数。反过来，直流信号的频谱是冲激函数。w01)(w)(tf021t求解直流信号的傅里叶变换解：采用宽度为的矩形脉冲的极限而求得。22()Eututft0t()2SFEa0w22w0)2(E)(w)(tf0Et频谱变化当时，矩形脉冲成为直流信号f(t)=E,其傅氏变换为：若令sin()2[]lim()()222)(lim][kwSakk2k比较上两式可得到：)(2][wEwF当E=1时，)(2][wwF)(211)(wtFTFT二、冲激偶信号的傅里叶变换冲激偶函数：)(tf)('t)(')(ttf01t1w0)(wFw0)(w22(,0(),2,()0)2FjF（纯虚函数）其傅里叶变换为：推导：解：dwetIFTjwt21)(:两边求导：dwejwdttdjwt)(21)(得：jwdttdFT)(nFTnnjwdttd)()(推广：nnnFTndwwdjt)()(2222(),10,0,02,021()()FjF（复函数）三、阶跃信号的傅里叶变换阶跃函数：阶跃函数u(t)不满足绝对可积条件，但它仍存在傅里叶变换。2121)(tu)sgn(t)(()ftut01t222()1Fw0可见：单位阶跃函数u(t)的频谱在w=0点存在一个冲激函数，即：u(t)含有直流分量。此外：由于u(t)不是纯直流信号，它在t=0点有跳变，因此在频谱中还存在其他频率分量。思考题•1.冲激函数的傅立叶变换及其反变换的公式？•2.阶跃函数的傅立叶变换公式？