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以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的判定定理与有关性质．直线、平面平行的判定及其性质[理要点]一、直线与平面平行的判定与性质判定性质图形条件a与α无交点a∥αa∥αa⊂βα∩β＝b结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b∅二、面面平行的判定与性质判定性质图形判定性质条件无公共点a，b⊂βa∩b＝Pa∥αb∥αa′∩b′＝P′a∩b＝Pa∥a′b∥b′a′，b′⊂βa，b⊂αα∥ββ∩γ＝bα∩γ＝aα∥βa⊂β结论α∥βα∥βα∥βa∥ba∥α[究疑点]1．若一直线平行于平面α，那么平面α内的任一条直线与它有何位置关系？提示：平行或异面．2．若两平面平行，那么在一个平面内的任一条直线与另一个平面内的任一条直线有何位置关系？提示：平行或异面．3．如果一平面同时平行于两个平面，那么这两个平面有何位置关系？提示：平行．[题组自测]1．已知直线a，b，平面α，满足a⊂α，则使b∥α的条件为()A．b∥aB．b∥a且b⊄αC．a与b异面D．a与b不相交答案：B2．下列条件中，能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面解析：由面面平行的定义可知选D.答案：D3．设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是()A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析：因m⊂α，l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A.因m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交，若m∥l1且n∥l2，因l1与l2相交，故m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分而不必要条件是m∥l1且n∥l2.答案：B4．(1)(2010·临沂模拟)已知m，n是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中正确的命题是()A．①②B．①③C．①④D．①③④解析：(1)我们借助于长方体模型来解决本题．对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故选C.答案：(1)C(2)C[归纳领悟]解决有关线面平行，面面平行的判定与性质的基本问题要注意：1．注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．2．结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．3．会举反例或用反证法推断命题是否正确．[题组自测]1．在空间中，下列命题正确的是()A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a⊂α，则a∥β解析：A、C中b都可能在面内故错，B中α与β相交也可行．答案：D2．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.证明：连接CD1、AD1，∵P、Q分别是CC1、C1D1的中点，∴PQ∥CD1，又CD1⊄平面BPQ，PQ⊂平面BPQ，∴CD1∥平面BPQ.又D1Q＝AB＝1，D1Q∥DC∥AB，∴四边形ABQD1是平行四边形，∴AD1∥BQ，又∵AD1⊄平面BPQ，BQ⊂平面BPQ，∴AD1∥平面BPQ.又AD1∩CD1＝D1，∴平面ACD1∥平面BPQ.∵AC⊂平面ACD1，∴AC∥平面BPQ.[归纳领悟]1．证明直线与平面平行，一般有以下几种方法：(1)若用定义直接判定，一般用反证法；(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面．2．线线平行与线面平行之间的转化体现了化归的思想方法．[题组自测]1．设α、β、γ为三个不同的平面，m、n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.答案：①或③2．(2010·苏州模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证平面AB1D1∥平面C1BD；证明：∵几何体ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴B1D1∥BD，又BD⊂平面C1BD，B1D1⊄平面C1BD，∴B1D1∥平面C1BD，同理D1A∥平面C1BD.∵B1D1∩AD1＝D1，B1D1⊂平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴平面AB1D1∥平面C1BD.3.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF；条件变为E、F、G满足“DF∶D1F＝1∶2，DG∶DA＝1∶3，BE∶BB1＝2∶3”，求证平面AD1E∥平面BGF.证明：∵D1F∶DD1＝2∶3BE∶BB1＝2∶3DD1＝BB1，∴D1F＝BE又D1F∥BE，∴四边形D1FBE为平行四边形，∴D1E∥BF又DG∶GA＝1∶2DF∶FD1＝1∶2∴GF∥AD1又AD1∩D1E＝D1，GF∩BF＝F∴平面AD1E∥平面GFB[归纳领悟]判定平面与平面平行的方法：1．利用定义2．利用面面平行的判定定理3．利用面面平行的判定定理的推论4．面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)5．利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)一、把脉考情从近两年的高考试题来看，直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中等偏高；本节主要考查线面平行的判定，考查线∥线⇌线∥面⇌面∥面的转化思想，并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能力．预测2012年高考仍将以线面平行的判定为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力．二、考题诊断1．(2010·山东高考)在空间中，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同一直线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：两平行直线的投影不一定重合，故A错；由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可知B、C均错误．答案：D2．(2010·浙江高考)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：根据定理：两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面知B正确．答案：B3．(2010·浙江高考第Ⅰ问)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE；点击此图片进入“课时限时检测”