2014届高三数学一轮复习-(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)8.3圆的方程课件-新人教A版

[知识能否忆起]1．圆的定义及方程标准方程_____________________(r0)圆心：，半径：__一般方程_____________________(D2＋E2－4F0)圆心：，半径：－D2，－E212D2＋E2－4Fx2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b)r[动漫演示更形象，见配套课件]2．点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则.(2)若M(x0，y0)在圆上，则.(3)若M(x0，y0)在圆内，则.(x0－a)2＋(y0－b)2r2(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2(x0－a)2＋(y0－b)2r2[小题能否全取]1．(教材习题改编)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是()A.14＜m＜1B．m＜14或m＞1C．m＜14D．m＞1解析：由(4m)2＋4－4×5m＞0得m＜14或m＞1.答案：B答案：A2．(教材习题改编)点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4内，则实数a的取值范围是()A．(－1,1)B．(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(1，＋∞)解析：∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1.3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．x2＋(y－3)2＝1解析：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知0－12＋b－22＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.答案：A解析：设圆的方程为x2＋y2＝a2(a＞0)∴|2|1＋1＝a，∴a＝2，∴x2＋y2＝2.4．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为____________________．答案：x2＋y2＝25．(2013·潍坊调研)圆x2－2x＋y2－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝0的距离为________．解析：圆心(1,0)，d＝|1－3|1＋3＝1.答案：11.方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D2＋E2－4AF＞0.2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．[例1](1)(2013·顺义模拟)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为()圆的方程的求法A.x±332＋y2＝43B.x±332＋y2＝13C．x2＋y±332＝43D．x2＋y±332＝13(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________________．[自主解答](1)由已知知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，b)，半径为r，则rsinπ3＝1，rcosπ3＝|b|，解得r＝23，|b|＝33，即b＝±33.故圆的方程为x2＋y±332＝43.(2)圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋F＝0，则26＋5D＋F＝0，10＋D＋F＝0，解得D＝－4，F＝－6.圆C的方程为x2＋y2－4x－6＝0.[答案](1)C(2)x2＋y2－4x－6＝01．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．2．利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．1．(2013·浙江五校联考)过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆的方程是()A．(x－4)2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x－2)2＋(y－1)2＝5解析：易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，因此P，A，O，B四点共圆，△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆，这个圆的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.答案:D[例2](1)(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为()A．x＋y－2＝0B．y－1＝0C．x－y＝0D．x＋3y－4＝0(2)P(x，y)在圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1上移动，则x2＋y2的最小值为________．与圆有关的最值问题[自主解答](1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0.(2)由C(1,1)得|OC|＝2，则|OP|min＝2－1，即(x2＋y2)min＝2－1.所以x2＋y2的最小值为(2－1)2＝3－22.[答案](1)A(2)3－221．研究与圆有关的最值问题时可借助图形的几何性质，数形结合求解．2．形如Z＝y－bx－a的形式的最值问题可转化为动直线斜率的最值问题．3．形如Z＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题可转化为动点到定点距离的平方的最值问题．2．已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上．(1)求x＋y的最大值和最小值；(2)求x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值和最小值．解：(1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t的纵截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距．由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2＋－3－t|2＝1，解得t＝2－1或t＝－2－1，所以x＋y的最大值为2－1，最小值为－2－1.(2)x2＋y2＋2x－4y＋5＝[x－－1]2＋y－22，表示点(x，y)到定点(－1,2)的距离，又因为圆心到定点(－1,2)的距离为34，所以x2＋y2＋2x－4y＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1.与圆有关的轨迹问题[例3]设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．[自主解答]如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为x2，y2，线段MN的中点坐标为x0－32，y0＋42.因为平行四边形的对角线互相平分，故x2＝x0－32，y2＝y0＋42，从而x0＝x＋3，y0＝y－4，N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4，因此所求P点的轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点：－95，125和－215，285(点P在OM所在的直线上时的情况)．求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法；(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．(2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程．(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．3．(2013·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的距离的2倍，则动点P的轨迹方程为()A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16解析：设P(x，y)，则由题意可得2x－22＋y2＝x－82＋y2，化简整理得x2＋y2＝16.答案：B与圆有关的交汇问题是近几年高考命题的热点，这类问题，要特别注意圆的定义及其性质的运用．同时，要根据条件，合理选择代数方法或几何方法，凡是涉及参数的问题，一定要注意参数的变化对问题的影响，以便确定是否分类讨论．同时要有丰富的相关知识储备，解题时只有做到平心静气地认真研究，不断寻求解决问题的方法和技巧，才能真正把握好问题．[典例](2011·江苏高考)设集合A＝x，ym2≤x－22＋y2≤m2，x，y∈R，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠∅，则实数m的取值范围是________．[解析]由题意知A≠∅，则m2≤m2，即m≤0或m≥12.因为A∩B≠∅，则有：(1)当2m＋12，即m12时，圆心(2,0)到直线x＋y＝2m＋1的距离为d1＝|2－2m－1|2≤|m|，化简得2m2－4m＋1≤0，解得1－22≤m≤1＋22，所以1－22≤m≤12；(2)当2m≤2≤2m＋1，即12≤m≤1时，A∩B≠∅恒成立；(3)当2m2，即m1时，圆心(2,0)到直线x＋y＝2m的距离为d2＝|2－2m|2≤|m|，化简得m2－4m＋2≤0，解得2－2≤m≤2＋2，所以1m≤2＋2.综上可知：满足题意的m的取值范围为12，2＋2.[答案]12，2＋2[题后悟道]该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有：①弄清集合代表的几何意义；②结合直线与圆的位置关系求得m的取值范围．针对训练若直线l：ax＋by＋4＝0(a0，b0)始终平分圆C：x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最大值为()A．4B．2C．1D.14解析：圆C的圆心坐标为(－4，－1)，则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝4.所以ab＝14(4a·b)≤144a＋b22＝14×422＝1.当且仅当a＝12，b＝2取得等号．答案：C教师备选题（给有能力的学生加餐）1．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是________．解题训练要高效见“课时跟踪检测（五十一）”解析：lAB：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝32，则AB边上的高的最小值为32－1.故△ABC面积的最小值是12×22×32－1＝3－2.答案：3－22．(2012·抚顺调研)已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.