高考数学第2讲圆锥曲线的方程与性质

第2讲圆锥曲线的方程与性质高考定位1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的第一问的形式命题.2.直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化、化归与分类讨论思想方法的考查.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)已知A为抛物线C：y2＝2px(p0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝()A.2B.3C.6D.9解析设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋p2＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋p2＝12，解得p＝6.故选C.答案C2.(2020·全国Ⅲ卷)设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px(p0)交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点坐标为()A.14，0B.12，0C.(1，0)D.(2，0)解析将x＝2与抛物线方程y2＝2px联立，可得y＝±2p，不妨设D(2，2p)，E(2，－2p)，由OD⊥OE，可得OD→·OE→＝4－4p＝0，解得p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.其焦点坐标为12，0.故选B.答案B3.(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A.72B.3C.52D.2解析法一由题知a＝1，b＝3，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，所以△PF1F2的面积为12|PF1||PF2|＝3.故选B.答案B法二由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝21＋3＝4.设点P的坐标为(x0，y0)，则x20－y203＝1，x20＋y20＝2，解得|y0|＝32.所以△PF1F2的面积为12|F1F2|·|y0|＝12×4×32＝3.故选B.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程.4.(2020·全国Ⅱ卷)已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝43|AB|.解(1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝a2－b2.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为b2a，－b2a；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝2b2a，|CD|＝4c.由|CD|＝43|AB|得4c＝8b23a，即3×ca＝2－2ca2.解得ca＝－2(舍去)或ca＝12.所以C1的离心率为12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，故C1：x24c2＋y23c2＝1.设M(x0，y0)，则x204c2＋y203c2＝1，y20＝4cx0，故x204c2＋4x03c＝1.①因为C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，又|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得（5－c）24c2＋4（5－c）3c＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.所以C1的标准方程为x236＋y227＝1，C2的标准方程为y2＝12x.考点整合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离).温馨提醒应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)(焦点在y轴上)；(2)双曲线：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在x轴上)或y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(焦点在y轴上)；(3)抛物线：y2＝2px，y2＝－2px，x2＝2py，x2＝－2py(p＞0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系①在椭圆中：a2＝b2＋c2；离心率为e＝ca＝1－b2a2.②在双曲线中：c2＝a2＋b2；离心率为e＝ca＝1＋b2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±bax；焦点坐标F1(－c，0)，F2(c，0).②双曲线y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程为y＝±abx，焦点坐标F1(0，－c)，F2(0，c).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y2＝2px(p0)的焦点Fp2，0，准线方程x＝－p2.②抛物线x2＝2py(p0)的焦点F0，p2，准线方程y＝－p2.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k，直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)时，|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.(2)过抛物线焦点的弦抛物线y2＝2px(p0)过焦点F的弦AB，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.热点一圆锥曲线的定义及标准方程【例1】(1)(2020·浙江卷)已知点O(0，0)，A(－2，0)，B(2，0).设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝34－x2图象上的点，则|OP|＝()A.222B.4105C.7D.10(2)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.x22＋y2＝1B.x23＋y22＝1C.x24＋y23＝1D.x25＋y24＝1解析(1)由|PA|－|PB|＝2＜|AB|＝4，得点P的轨迹是双曲线的右支.又a＝1，c＝2，知b2＝c2－a2＝3.故点P的轨迹方程为x2－y23＝1(x≥1)①，由于y＝34－x2②，联立①②，得x2＝134，y2＝274，故|OP|＝x2＋y2＝10.(2)设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0).连接F1A，令|F2B|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝3m.由椭圆定义，4m＝2a，得m＝a2，故|F2A|＝|F1A|＝a，则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.如图，不妨设A(0，－b)，依题意，AF2→＝2F2B→，得B32，b2.由点B在椭圆上，得94a2＋b24b2＝1，得a2＝3，b2＝a2－c2＝2，椭圆C的方程为x23＋y22＝1.答案(1)D(2)B探究提高1.两题求解的关键在于准确把握圆锥曲线的定义和标准方程，另外注意焦点在不同的坐标轴上，椭圆、双曲线、抛物线方程各有不同的表示形式.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】(1)(2020·天津卷)设双曲线C的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为()A.x24－y24＝1B.x2－y24＝1C.x24－y2＝1D.x2－y2＝1(2)(2020·长郡中学检测)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M(x0，66)x0＞p2是抛物线上一点，以M为圆心的圆与直线x＝p2交于A，B两点(A在B的上方)，若sin∠MFA＝57，则此抛物线的方程为________.解析(1)由y2＝4x，知焦点坐标为(1，0)，则过点(1，0)和点(0，b)的直线方程为x＋yb＝1.易知x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为xa＋yb＝0和xa－yb＝0.由l与一条渐近线平行，与一条渐近线垂直，得a＝1，b＝1.故双曲线C的方程为x2－y2＝1.(2)如图所示，过M点作CM⊥AF，垂足为C，交准线于D，∴sin∠MFA＝57＝|MC||MF|.由抛物线定义|MF|＝|MD|＝x0＋p2，∴|MC||MF|＝x0－p2x0＋p2＝57，得x0＝3p.∵点M(x0，66)x0＞p2是抛物线上一点，∴(66)2＝2px0，36×6＝6p2，∴p＝6，∴y2＝12x.答案(1)D(2)y2＝12x热点二圆锥曲线的几何性质【例2】(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为________.(2)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点.若F1A→＝AB→，F1B→·F2B→＝0，则C的离心率为________.解析(1)设B(c，yB)，因为B为双曲线C：x2a2－y2b2＝1上的点，所以c2a2－y2Bb2＝1，所以y2B＝b4a2，则yB＝b2a.因为AB的斜率为3，所以b2ac－a＝3，则b2＝3ac－3a2.所以c2－a2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a.所以C的离心率e＝ca＝2.(2)因为F1B→·F2B→＝0，所以F1B⊥F2B，如图.所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为F1A→＝AB→，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA.因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝1tan∠AOF1＝ab，tan∠BOF2＝ba.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以ba＝2×ab1－ab2，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c.所以双曲线的离心率e＝ca＝2.答案(1)2(2)2探究提高1.第(1)题的易错点有两处：一是忽视题眼“AB的斜率为3”，由y2B＝b4a2得yB＝±b2a；二是将双曲线中a，b，c的关系式与椭圆中a，b，c的关系式搞混.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求ca的值.3.求双曲线渐近线方程的关键在于求ba或ab的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】(1)(多选题)(2020·青岛统测)已知椭圆Ω：x2a2＋y2b2＝1(ab0)，则下列结论正确的是()A.若a＝2b，则椭圆Ω的离心率为22B.若椭圆Ω的离心率为12，则ba＝32C.若点F1，F2分别为椭圆Ω的左、右焦点，直线l过点F1且与椭圆Ω交于A，B两点，则△ABF2的周长为4aD.若点A1，A2分别为椭圆Ω的左、右顶点，点P为椭圆Ω上异于点A1，A2的任意一点，则直线PA1，PA2的斜率之积为－b2a2(2)(多选题)(2020·德州质检)双曲线C：x24－y22＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是()A.双曲线C的离心率为62B.双曲线y24－x28＝1与双曲线C的渐近线相同C.若PO⊥PF，则△PFO的面积为2D.|PF|的最小值为2解析(1)若a＝2b，则c＝3b，所以e＝32，A不正确；若e＝12，则a＝2c，b＝3c，所以ba＝3