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习题课——排列与组合的综合应用课标阐释思维脉络1.能够判断所研究的问题是不是排列或组合问题.(逻辑推理)2.进一步熟练掌握排列数、组合数公式的计算技能.(数学运算)3.熟练掌握用排列、组合解决常见问题的方法.(数学建模)有十个年轻人在一家饭店吃饭,几个人想吃免费的午餐,老板说:“你们每次来吃饭由我安排座位,如果我安排的座位与前面的哪一次完全重复了,就免去全部费用.”大家以为很快能吃到免费餐,结果一年以后还没吃到.你认为他们有可能吃到吗?一、排列数、组合数的公式及性质微练习对所有满足1≤m≤n≤5的自然数m,n,方程x2+y2=1所表示的不同椭圆的个数为.𝐶nm解析:∵1≤m≤n≤5,∴𝐶nm有𝐶21,𝐶31,𝐶32,𝐶41,𝐶42,𝐶43,𝐶51,𝐶52,𝐶53,𝐶54共10种情况.其中𝐶31=𝐶32,𝐶41=𝐶43,𝐶51=𝐶54,𝐶52=𝐶53,所以x2+𝐶nmy2=1能表示的不同椭圆有6个.答案:6二、排列与组合的区别排列组合排列与顺序有关组合与顺序无关两个排列相同,当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同两个组合相同,当且仅当这两个组合的元素完全相同微练习(1)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了毕业留言条.(2)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙两人所选的课程中恰有1门相同的选法有种.解析:(1)由题意,得毕业留言共𝐴402=1560(条).(2)依题意知,满足题意的选法共有𝐶41·𝐶31·𝐶21=24(种).答案:(1)1560(2)24排列问题例1(1)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种(2)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.解析:(1)第1类,甲在最左端,有A55=120(种)排法;第2类,乙在最左端,有4×A44=96(种)排法,所以共有120+96=216(种)排法.(2)记其余两种产品为D,E,由于A,B相邻,则视为一个元素,先与D,E排列,有A22A33种方法.再将C插入,仅有3个空位可选,共有A22A33C31=2×6×3=36(种)不同的摆法.答案:(1)B(2)36反思感悟求解排列问题的六种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元素的内部排列插空法对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中定序问题除法处理对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全排列间接法正难则反、等价转化的方法变式训练1工程队有6项工程需要单独完成,其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行,工程丙必须在工程乙完成后才能进行,工程丁必须在工程丙完成后立即进行,则安排这6项工程的不同方法种数为()A.10B.20C.30D.40解析:因为工程丙完成后立即进行工程丁,若不考虑与其他工程的顺序,则安排这6项工程的不同方法数为A55,对于甲、乙、丙、丁所处位置的任意排列有且只有一种情况符合要求,因此,符合条件的安排方法种数为A55A33=5×4=20.答案:B组合问题组合问题的常见题型及解题思路常见题型一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等解题思路(1)分清问题是否为组合问题;(2)对较复杂的组合问题,要搞清是“分类”还是“分步”,一般是先整体分类,然后局部分步,将复杂问题通过两个计数原理化归为简单问题例2(1)某学校为了迎接市春季运动会,从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛,要求男、女生都有,则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为()A.85B.86C.91D.90(2)设集合A={(x1,x2,x3,x4,x5)|xi∈{-1,0,1},i=1,2,3,4,5},那么集合A中满足条件“1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3”的元素个数为()A.130B.120C.90D.60(3)从6男2女共8名学生中选出队长1人、副队长1人、普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.解析:(1)(方法一直接法)由题意,可分三类考虑:第1类,男生甲入选,女生乙不入选的方法种数为C31C42+C32C41+C33=31;第2类,男生甲不入选,女生乙入选的方法种数为C41C32+C42C31+C43=34;第3类,男生甲入选,女生乙入选的方法种数为C32+C41C31+C42=21.所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31+34+21=86.(方法二间接法)从5名男生和4名女生中任意选出4人,男、女生都有的选法有C94−C54−C44=120(种);男、女生都有,且男生甲与女生乙都没有入选的方法有C74−C44=34(种).所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120-34=86.(2)易知|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1或2或3,下面分三类讨论:第1类,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=1,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取一个让其等于1或-1,其余等于0,于是有C51C21=10(种)情况;第2类,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=2,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取两个让其都等于1或都等于-1或一个等于1、另一个等于-1,其余等于0,于是有2×C52+C52C21=40(种)情况;第3类,|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|=3,此时,从x1,x2,x3,x4,x5中任取三个让其都等于1或都等于-1或两个等于1、另一个等于-1或两个等于-1、另一个等于1,其余等于0,于是有2C53+C52C31+C51C42=80(种)情况.所以满足条件的元素个数为10+40+80=130.(3)从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为C84−C64=55.从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为A42=12(种).故总共有55×12=660(种)选法.答案:(1)B(2)A(3)660反思感悟有限制条件的组合问题的解法组合问题的限制条件主要体现在取出元素中“含”或“不含”某些元素,或者“至少”或“最多”含有几个元素:(1)“含”或“不含”某些元素的组合题型.“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型.考虑逆向思维,用间接法处理.变式训练2现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张,不同取法的种数为.解析:第1类,含有1张红色卡片,不同的取法有C41C122=264(种).第2类,不含有红色卡片,不同的取法有C123-3C43=220-12=208(种).由分类加法计数原理,不同的取法种数为264+208=472.答案:472分组分配问题分组分配问题是排列、组合问题的综合运用,解决这类问题的一个基本指导思想就是先分组后分配.关于分组问题,有整体均分、部分均分和不等分三种,无论分成几组,都应注意只要有一些组中元素的个数相等,就存在均分现象.例3(1)教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教,有种不同的分派方法.(2)若将6名教师分到3所中学任教,一所1名,一所2名,一所3名,则有种不同的分法.解析:(1)先把6个毕业生平均分成3组,有C62C42C22A33种方法,再将3组毕业生分到3所学校,有A33种方法,故将6个毕业生平均分到3所学校,共有C62C42C22A33·A33=90(种)不同的分派方法.(2)将6名教师分组,分三步完成:第1步,在6名教师中任取1名作为一组,有C61种分法;第2步,在余下的5名教师中任取2名作为一组,有C52种分法;第3步,余下的3名教师作为一组,有C33种分法.根据分步乘法计数原理,共有C61C52C33=60(种)分法.再将这3组教师分配到3所中学,有A33=6(种)分法,故共有60×6=360(种)不同的分法.答案:(1)90(2)360反思感悟分组分配问题的三种类型及求解策略类型求解策略整体均分解题时要注意分组后,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以(n为均分的组数),避免重复计数部分均分解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!不等分组只需先分组,后排列,注意分组时任何组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数𝐴nn变式训练3某局安排3名副局长带5名职工去3地调研,每地至少去1名副局长和1名职工,则不同的安排方法总数为()A.1800B.900C.300D.1440解析:分三步:第1步,将5名职工分成3组,每组至少1人,则有(C53C21C11A22+C51C42C22A22)种不同的分组方法;第2步,将这3组职工分到3地有A33种不同的方法;第3步,将3名副局长分到3地有A33种不同的方法.根据分步乘法计数原理,不同的安排方法共有(C53C21C11A22+C51C42C22A22)·A33A33=900(种),故选B.答案:B排列、组合的综合应用例43名男生和3名女生共6名同学站成一排,若男生甲不站两端,3名女生中有且只有2名女生相邻,则不同的排法有多少种?思路分析:分析排列、组合问题的关键是要遵循特殊元素优先考虑的原则.解:先考虑女生,先从3名女生中选2名,有C32种方法,再考虑顺序,有A22种方法.这样选出2名女生后,再考虑男生.先把3名男生任意排列,有A33种不同的排法.再把2名相邻女生看成一个整体,和另一名女生看成两个元素插入4个空中,有A42种不同的排法,共有C32A22A33A42种不同的排法.然后考虑把男生甲站两端的情况排除掉.甲可能站左端,也可能站右端,有C21种不同的方法,然后其他2名男生排列,有A22种排法,最后把女生在剩余的三个位置中排列,有A32种不同的排法,共C32A22C21A22A32种不同的排法.故总的排法有C32A22A33A42−C32A22C21A22A32=288(种).反思感悟1.解排列、组合综合问题的一般思路是“先选后排”,也就是先把符合题意的元素都选出来,再对元素或位置进行排列.2.解排列、组合综合问题时要注意以下几点:(1)元素是否有序.(2)对于有多个限制条件的复杂问题,应认真分析每个限制条件,再考虑是分类还是分步,这是处理排列、组合综合问题的一般方法.变式训练4有6名男医生,4名女医生.把10名医生分成2组,每组5人,且每组要有女医生,有多少种不同的分派方法?若将这两组医生分派到两地去,并且每组选出正、副组长2人,又有多少种方法?解:医生的选法有两类:第1类,一组女医生1人男医生4人,另一组女医生3人男医生2人.因为组与组之间没有顺序,故一共有C41C64种不同的选法;第2类,两组都是3男2女,考虑两组没有顺序,因此有C42C63A22种不同的选法.因此不同的分法总数为C41C64+C42C63A22=120(种).分派到两地有A22种方法,每个小组选出正、副组长各有A52种选法,故一共有N=120A22A52A52=96000(种)方法.分类讨论的思想典例从1,2,3,4,5,6这6个数字中,任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1前面;若只有1和3中的1个时,它应排在其他数字的前面,这样不同的三位数共有个.解析:1与3是特殊元素,以此为分类标准进行分类.分三类:第1类,没有数字1和3时,有A43个;第2类,只有1和3中的1个时,有2A42个;第3类,同时有1和3时,把3