搜索
第八章立体几何初步章末知识梳理•一、空间几何体的结构特征•1．多面体及其结构特征•(1)棱柱：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.•(2)棱锥：①有一个面(底面)是多边形；•②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形.•(3)棱台：①上、下底面互相平行，且是相似图形；②各侧棱延长线相交于一点.•2．旋转体及其结构特征•(1)圆柱：①圆柱的轴垂直于底面；②圆柱的轴截面是矩形；③圆柱的所有母线相互平行且相等，且都与圆柱的轴平行；④圆柱的母线垂直于底面.•(2)圆锥：①圆锥的轴垂直于底面；②圆锥的轴截面为等腰三角形；③圆锥的顶点与底面圆周上任一点的连线都是圆锥的母线，圆锥的母线有无数条；④圆锥的底面是一个圆面.•(3)圆台：①圆台的上、下底面是两个半径不等的圆面；②圆台两底面圆所在平面互相平行且和轴垂直；③圆台有无数条母线；④圆台的母线延长线交于一点.•二、空间几何体的直观图•1．斜二测画法中“斜”和“二测”•“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；•“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半.•2．斜二测画法中的建系原则•在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等.•三、空间几何体的表面积和体积•1．多面体的表面积•各个面的面积之和，也就是展开图的面积.•2．旋转体的表面积•圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l).•圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l).•圆台：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl).•球：S＝4πR2．3．柱体、锥体、台体的体积公式(1)柱体的体积公式：V柱体＝Sh(S底面面积，h为高).(2)锥体的体积公式V锥体＝13Sh(S底面面积，h为高).(3)台体的体积公式V台体＝13(S＋SS′＋S′)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高).(4)球的体积公式V＝43πR3．•四、空间点、线、面之间的位置关系•1．平面的基本性质•四个基本事实及其作用•基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.•作用：①可用来确定一个平面；②证明点线共面.•基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.•作用：可用来证明点、直线在平面内.•基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.•作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断或证明多点共线；③判断或证明多线共点.•基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.•作用：判断空间两条直线平行的依据.2．空间中两直线的位置关系空间中两直线的位置关系共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.•五、直线、平面平行的判定与性质•1．直线与平面平行•(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行).•(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”).•2．平面与平面平行•(1)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”).•(2)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.•六、直线、平面垂直的判定及其性质•1．直线与平面垂直•(1)直线和平面垂直的定义：•直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.•(2)异面直线所成的角：•定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).•(3)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.•(4)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.•2．平面与平面垂直•(1)平面和平面垂直的定义：•两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直.•(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直.•(3)性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.•1．空间几何体的表面积求法•(1)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体表面积注意衔接部分的处理.•(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.•2．空间几何体体积问题常见类型•(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解.•(2)若所给的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.要点一几何体的表面积与体积•如图所示(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.典例1[解析]由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面，S半球＝8π(cm2)，S圆台侧＝35π(cm2)，S圆台底＝25π(cm2)，故所求几何体的表面积为68πcm2．由V圆台＝13×[π×22＋π×22×π×52＋π×52]×4＝52π(cm3)，V半球＝43π×23×12＝163π(cm3)，所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－163π＝1403π(cm3).【对点练习】❶如图所示，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，则三棱锥B1－ABC1的体积为()A．312B．34C．612D．64A[解析]解法1：V三棱锥B1－ABC1＝V三棱柱ABC－A1B1C1－V三棱锥A－A1B1C1－V三棱锥C1－ABC＝34－312－312＝312.解法2：VB1－ABC1＝VA－BB1C1＝13×12(1×1)·32＝312.•1．判断线面平行的两种常用方法•面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：•(1)利用线面平行的判定定理.•(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面.•2．判断面面平行的常用方法•利用面面平行的判定定理.要点二空间中的平行关系•如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.典例2[解析]当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接BD与AC交于点O，连接FO，则PF＝12PB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，∴OF∥PD.又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA∥PB且MA＝12PB，∴PF∥MA且PF＝MA，∴四边形AFPM是平行四边形，∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD，∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC，∴平面AFC∥平面PMD.•【对点练习】❷如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC.•[证明]∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC.•又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，•∴MN∥平面ABC.•∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，•∴BD∥EC.•∵N是EC的中点，EC＝2BD，•∴NC∥BD，NC＝BD.•∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC.•又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，•∴DN∥平面ABC.•又∵MN∩DN＝N，MN⊂平面DMN，DN⊂平面DMN，•∴平面DMN∥平面ABC.•1．判定线面垂直的方法•(1)线面垂直定义.•(2)线面垂直判定定理.•(3)平行线垂直平面的传递性质(a∥b，b⊥α⇒a⊥α).•(4)面面垂直性质(α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α).•2．判定面面垂直的方法•(1)面面垂直的定义.•(2)面面垂直的判定定理.要点三空间中的垂直关系•如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：•(1)PA⊥底面ABCD；•(2)BE∥平面PAD；•(3)平面BEF⊥平面PCD.典例3•[证明](1)因为平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂平面PAD，PA⊥AD，•所以PA⊥底面ABCD.•(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，•所以AB∥DE，且AB＝DE.•所以四边形ABED为平行四边形，•所以BE∥AD.•又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，•所以BE∥平面PAD.•(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形，•所以BE⊥CD，AD⊥CD.•由(1)知PA⊥底面ABCD，所以AP⊥CD.•又因为AP∩AD＝A，AP，AD⊂平面PAD，•所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.•因为E和F分别是CD和PC的中点，•所以PD∥EF，所以CD⊥EF.•又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BF⊂平面BEF，•所以CD⊥平面BEF.•又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.•【对点练习】❸如图所示，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4．•(1)求证：AC⊥平面BCE；•(2)求证：AD⊥AE.[证明](1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，所以AC＝BC＝22，所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.因为AF⊥平面ABCD，AF∥BE，所以BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BE⊥AC.又BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC＝B，所以AC⊥平面BCE.•(2)因为AF⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，•所以AF⊥AD.•又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.•又AF⊂平面ABEF，AB⊂平面ABEF，AF∩AB＝A，•所以AD⊥平面ABEF.•又AE⊂平面ABEF，所以AD⊥AE.•1．空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角.这些角是对点、直线、平面所组成空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分，学习时要深刻理解它们的含义，并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题.空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视.要点四空间中的角•2．求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角).•3．求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影).•4．常用的三种二面角的平面角的作法：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法.•总之，求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算.•如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2．•(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；•(2)求证：PD⊥平面PBC；•(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.典例4[解析](1)解：由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD⊥平面PDC，PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝AD2＋PD2＝5，故cos∠DAP＝ADAP＝55.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.(2)证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD.又BC∥AD，所以PD