高考数学第3讲导数与函数的单调性极值最值问题

第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.真题感悟1.(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A.y＝－2x－1B.y＝－2x＋1C.y＝2x－3D.y＝2x＋1解析f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，又f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.答案B答案12.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝exx＋a.若f′(1)＝e4，则a＝________.解析f′(x)＝ex（x＋a－1）（x＋a）2，可得f′(1)＝ae（1＋a）2＝e4，即a（1＋a）2＝14，解得a＝1.3.(2020·新高考山东、海南卷)已知函数f(x)＝aex－1－lnx＋lna.(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1－1x.(1)当a＝e时，f(x)＝ex－lnx＋1，f(1)＝e＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为－2e－1，2.因此所求三角形的面积S＝12|x|·|y|＝12×2×2e－1＝2e－1.(2)当0＜a＜1时，f(1)＝a＋lna＜1.当x∈(0，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1.当a＞1时，f(x)＝aex－1－lnx＋lna＞ex－1－lnx≥1.综上，a的取值范围是[1，＋∞).当a＝1时，f(x)＝ex－1－lnx，f′(x)＝ex－1－1x.4.(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x.解(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，x∈R，f′(x)＝ex＋2x－1.故当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.所以f(x)在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增.(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≥12x3＋1，求a的取值范围.(2)f(x)≥12x3＋1等价于12x3－ax2＋x＋1e－x≤1.设函数g(x)＝12x3－ax2＋x＋1e－x(x≥0)，则g′(x)＝－12x3－ax2＋x＋1－32x2＋2ax－1e－x＝－12x[x2－(2a＋3)x＋4a＋2]e－x＝－12x(x－2a－1)(x－2)e－x.①若2a＋1≤0，即a≤－12，则当x∈(0，2)时，g′(x)0.所以g(x)在(0，2)单调递增，而g(0)＝1，故当x∈(0，2)时，g(x)1，不符合题意.②若02a＋12，即－12a12，则当x∈(0，2a＋1)∪(2，＋∞)时，g′(x)0；当x∈(2a＋1，2)时，g′(x)0.所以g(x)在(0，2a＋1)，(2，＋∞)单调递减，在(2a＋1，2)单调递增.由于g(0)＝1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)＝(7－4a)·e－2≤1，即a≥7－e24.所以当7－e24≤a12时，g(x)≤1.③若2a＋1≥2，即a≥12，则g(x)≤12x3＋x＋1e－x.由于0∈7－e24，12，故由②可得12x3＋x＋1e－x≤1.故当a≥12时，g(x)≤1.综上，a的取值范围是7－e24，＋∞.考点整合1.导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).易错提醒求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.2.四个易误导数公式(1)(sinx)′＝cosx；(2)(cosx)′＝－sinx；(3)(ax)′＝axlna(a0，且a≠1)；(4)(logax)′＝1xlna(a0，且a≠1，x0).3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.①f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)0或f′(x)0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.4.利用导数研究函数的极值、最值(1)若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件.热点一导数的几何意义【例1】(1)(2019·全国Ⅲ卷)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1D.a＝e－1，b＝－1(2)(多选题)下列四条曲线中，直线y＝2x与其相切的有()A.曲线y＝2ex－2B.曲线y＝2sinxC.曲线y＝3x＋1xD.曲线y＝x3－x－2解析(1)因为y′＝aex＋lnx＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.所以ae＋1＝2，b＝－1，即a＝e－1，b＝－1.(2)直线y＝2x的斜率为k＝2，A中，若f(x)＝2ex－2，则由f′(x)＝2ex＝2，得x＝0，f(0)＝0，因为点(0，0)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝2ex－2相切.B中，若f(x)＝2sinx，则由f′(x)＝2cosx＝2，得x＝2kπ(k∈Z)，f(2kπ)＝0，因为点(0，0)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝2sinx相切.D中，若f(x)＝x3－x－2，则由f′(x)＝3x2－1＝2，得x＝±1，f(1)＝－2，f(－1)＝－2，其中(－1，－2)在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝x3－x－2相切.故选ABD.答案(1)D(2)ABDC中，若f(x)＝3x＋1x，则由f′(x)＝3－1x2＝2，得x＝±1，f(1)＝4，f(－1)＝－4，因为(1，4)，(－1，－4)都不在直线y＝2x上，所以直线y＝2x与曲线y＝3x＋1x不相切.探究提高利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.【训练1】(1)(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________.(2)(2020·全国Ⅰ卷)曲线y＝lnx＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________.解析(1)设A(m，n)，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝1m(x－m).又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝1m(m＋e).再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1).答案(1)(e，1)(2)2x－y＝0(2)设切点坐标为(x0，y0)，因为y＝lnx＋x＋1，所以y′＝1x＋1，所以切线的斜率为1x0＋1＝2，解得x0＝1.所以y0＝ln1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1，2)，所以切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.热点二利用导数研究函数的单调性角度1讨论函数的单调性(区间)【例2】(2020·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝2lnx＋1.(1)若f(x)≤2x＋c，求c的取值范围；(2)设a0，讨论函数g(x)＝f（x）－f（a）x－a的单调性.(1)当0x1时，h′(x)0；当x1时，h′(x)0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，＋∞)单调递减.从而当x＝1时，h(x)取到最大值，最大值为h(1)＝－1－c.故当且仅当－1－c≤0，即c≥－1时，f(x)≤2x＋c.所以c的取值范围为[－1，＋∞).解设h(x)＝f(x)－2x－c，则h(x)＝2lnx－2x＋1－c，其定义域为(0，＋∞)，h′(x)＝2x－2.取c＝－1得h(x)＝2lnx－2x＋2，h(1)＝0，则由(1)知，当x≠1时，h(x)0，即1－x＋lnx0.(2)g(x)＝f（x）－f（a）x－a＝2（lnx－lna）x－a，x∈(0，a)∪(a，＋∞).g′(x)＝2x－ax＋lna－lnx（x－a）2＝21－ax＋lnax（x－a）2.故当x∈(0，a)∪(a，＋∞)时，1－ax＋lnax0，从而g′(x)0.所以g(x)在区间(0，a)，(a，＋∞)单调递减.角度2根据函数的单调性求参数的取值范围【例3】(1)已知函数f(x)＝12mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是()A.[－1，1]B.[－1，＋∞)C.[1，＋∞)D.(－∞，1](2)若函数f(x)＝－12x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________.答案(1)C(2)(0，1)∪(2，3)解析(1)f′(x)＝mx＋1x－2≥0对一切x0恒成立，∴m≥－1x2＋2x.令g(x)＝－1x2＋2x，则当1x＝1，即x＝1时，函数g(x)取最大值1，故m≥1.(2)对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－3x＝－x2＋4x－3x＝－（x－1）（x－3）x.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t1t＋1或t3t＋1，解得0t1或2t3.探究提高1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f′(x)0或f′(x)0.2.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).【训练2】(2020·百师联盟考试)已知函数f(x)＝axex－x2－2x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x＞0时，f(x)＞0，求正实数a的取值范围.解(1)f′(x)＝a(x＋1)ex－2x－2＝(x＋1)(aex－2).①当a≤0时，由f′(x)＞0，得x＜－1；由f′(x)＜0，得x＞－1.∴f(x)在(－∞，－1)上单调递增，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减.②当a＝2e时，f′(x)≥0，即f(x)在R上单调递增，④当a＞2e时，由f′(x)＜0，得ln2a＜x＜－1；由f′(x)＞0，得x＞－1或x＜ln2a.故f(x)在(－1，＋∞)和－∞，