高考数学考前冲刺一12类二级结论高效解题

考前冲刺一12类二级结论高效解题高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分.结论1奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.答案2【例1】设函数f(x)＝（x＋1）2＋sinxx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.解析显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝（x＋1）2＋sinxx2＋1＝1＋2x＋sinxx2＋1，设g(x)＝2x＋sinxx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.A.－1B.0C.1D.2【训练1】已知函数f(x)＝ln(1＋9x2－3x)＋1，则f(lg2)＋flg12＝()答案D解析令g(x)＝ln(1＋9x2－3x)，x∈R，则g(－x)＝ln(1＋9x2＋3x)，因为g(x)＋g(－x)＝ln(1＋9x2－3x)＋ln(1＋9x2＋3x)＝ln(1＋9x2－9x2)＝ln1＝0，所以g(x)是定义在R上的奇函数.又lg12＝－lg2，所以g(lg2)＋glg12＝0，所以f(lg2)＋flg12＝g(lg2)＋1＋glg12＋1＝2.结论2函数周期性问题已知定义在R上的函数f(x)，若对任意的x∈R，总存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)，则称f(x)是周期函数，T为其一个周期.常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(2)如果f(x＋a)＝1f（x）(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.A.－2B.－1C.0D.1(2)(多选题)(2020·济南模拟)函数f(x)的定义域为R，且f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，则()A.f(x)为奇函数B.f(x)为周期函数C.f(x＋3)为奇函数D.f(x＋4)为偶函数【例2】(1)已知定义在R上的函数f(x)满足fx＋32＝－f(x)，且f(－2)＝f(－1)＝－1，f(0)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＋f(2020)＝()解析(1)因为fx＋32＝－f(x)，所以f(x＋3)＝－fx＋32＝f(x)，则f(x)的周期T＝3.则有f(1)＝f(－2)＝－1，f(2)＝f(－1)＝－1，f(3)＝f(0)＝2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＋f(2020)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＋f(2020)＝673×[f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2020)＝0＋f(1)＝－1.(2)法一由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(－x)＋f(2＋x)＝0，f(－x)＋f(4＋x)＝0，所以f(2＋x)＝f(4＋x)，即f(x)＝f(2＋x)，所以f(x)是以2为周期的周期函数.又f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.法二由f(x＋1)与f(x＋2)都为奇函数知，函数f(x)的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f(x)的周期为2|2－1|＝2，所以f(x)与f(x＋2)，f(x＋4)的奇偶性相同，f(x＋1)与f(x＋3)的奇偶性相同，所以f(x)，f(x＋3)，f(x＋4)均为奇函数.故选ABC.答案(1)B(2)ABC【训练2】奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A.－2B.－1C.0D.1解析由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x).故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.答案D结论3函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.(3)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.【例3】(1)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2016)＋f(2017)＋f(2018)的值为________.(2)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(2－x)，且f(x)是偶函数，下列说法正确的是()A.f(x)的图象关于点(1，1)对称B.f(x)是周期为4的函数C.若f(x)满足对任意的x∈[0，1]，都有f（x2）－f（x1）x1－x20，则f(x)在[－3，－2]上单调递增D.若f(x)在[1，2]上的解析式为f(x)＝lnx＋1，则f(x)在[2，3]上的解析式为f(x)＝1－ln(x－2)解析(1)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2016)＋f(2018)＝－f(2014)＋f(2014＋4)＝－f(2014)＋f(2014)＝0，所以f(2016)＋f(2017)＋f(2018)＝4.答案(1)4(2)ABC(2)根据题意，f(x)的图象关于点(1，1)对称，A正确；又f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝f(－x)，则2－f(2－x)＝f(－x)，f(x)＝2－f(x＋2)，从而f(x＋2)＝2－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，B正确；由f（x2）－f（x1）x1－x20可知f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以f(x)在[1，2]上单调递增，因为f(x)的周期为4，所以f(x)在[－3，－2]上单调递增，C正确；因为f(x)＝f(－x)，x∈[－2，－1]时，－x∈[1，2]，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋1，x∈[－2，－1]，因为f(x)的周期为4，f(x)＝f(x－4)，x∈[2，3]时，x－4∈[－2，－1]，所以f(x)＝f(x－4)＝ln(4－x)＋1，x∈[2，3]，D错误.综上，正确的是ABC.【训练3】(1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(1－x)的图象大致为()(2)若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)＝________.解析(1)作出y＝f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到y＝f(－x)的图象，将y＝f(－x)的图象向右平移1个单位，得y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图象.因此图象A满足.(2)因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(x＋4)，则f(－1)＝f(3)＝3.答案(1)A(2)3结论4两个经典不等式(1)对数形式：x≥1＋lnx(x0)，当且仅当x＝1时，等号成立.(2)指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：exx＋1x1＋lnx(x0，且x≠1).【例4】已知函数f(x)＝x－1－alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n，1＋121＋122…1＋12ne.(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，①若a≤0，因为f12＝－12＋aln20，所以不满足题意.②若a0，由f′(x)＝1－ax＝x－ax知，当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0；所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，故x＝a是f(x)在(0，＋∞)的唯一最小值点.因为f(1)＝0，所以当且仅当a＝1时，f(x)≥0，故a＝1.(2)证明由(1)知当x∈(1，＋∞)时，x－1－lnx0.令x＝1＋12n，得ln1＋12n12n.从而ln1＋12＋ln1＋122＋…＋ln1＋12n12＋122＋…＋12n＝1－12n1.故1＋121＋122…1＋12ne.【训练4】(1)已知函数f(x)＝1ln（x＋1）－x，则y＝f(x)的图象大致为()答案B解析由x＋10，ln（x＋1）－x≠0，得{x|x－1，且x≠0}，所以排除选项D.当x0时，由经典不等式x1＋lnx(x0)，以x＋1代替x，得xln(x＋1)(x－1，且x≠0)，所以ln(x＋1)－x0(x－1，且x≠0)，排除A，C，易知B正确.(2)已知函数f(x)＝ex，x∈R.证明：曲线y＝f(x)与曲线y＝12x2＋x＋1有唯一公共点.证明令g(x)＝f(x)－12x2＋x＋1＝ex－12x2－x－1，x∈R，则g′(x)＝ex－x－1，由经典不等式ex≥x＋1恒成立可知，g′(x)≥0恒成立，所以g(x)在R上为增函数，且g(0)＝0.所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.结论5三点共线的充要条件设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点P与A，B共线的充要条件是存在实数λ与μ，使得OP→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1.特别地，当P为线段AB的中点时，OP→＝12OA→＋12OB→.【例5】在△ABC中，AE→＝2EB→，AF→＝3FC→，连接BF，CE，且BF与CE交于点M，AM→＝xAE→＋yAF→，则x－y等于()A.－112B.112C.－16D.16解析因为AE→＝2EB→，所以AE→＝23AB→，所以AM→＝xAE→＋yAF→＝23xAB→＋yAF→.由B，M，F三点共线得23x＋y＝1.①因为AF→＝3FC→，所以AF→＝34AC→，所以AM→＝xAE→＋yAF→＝xAE→＋34yAC→.由C，M，E三点共线得x＋34y＝1.②联立①②解得x＝12，y＝23，所以x－y＝12－23＝－16.答案C解析如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.【训练5】在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ＝________.由已知易得AB＝45AT，∴45AT→＝AB→＝λAM→＋μAN→，∴AT→＝54λAM→＋54μAN→，∵T，M，N三点共线，∴54λ＋54μ＝1，∴λ＋μ＝45.答案45结论6三角形“四心”向量形式的充要条件设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则(1)O为△A