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8.3不等式选讲(选修4-5)专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理24)(2012全国,理24)(2013全国Ⅰ,理24)(2013全国Ⅱ,理24)(2014全国Ⅰ,理24)(2014全国Ⅱ,理24)(2015全国Ⅰ,理24)(2015全国Ⅱ,理24)解答题从近五年的高考试题来看,高考的重点有:绝对值不等式的求解;含绝对值不等式的参数范围问题;不等式的证明与综合应用.高考的热点为绝对值不等式的求解.试题为中档难度,一般有两个设问,基本上都含有参数,经常以含绝对值的函数表示不等关系.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是绝对值不等式的解法;含绝对值不等式的参数范围问题;不等式的证明;不等式的综合应用.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四绝对值不等式的解法【思考】如何解绝对值不等式?例1(2015全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.答案答案关闭解:(1)当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x≤-1时,不等式化为x-40,无解;当-1x1时,不等式化为3x-20,解得23x1;当x≥1时,不等式化为-x+20,解得1≤x2.所以f(x)1的解集为𝑥23𝑥2.(2)由题设可得,f(x)=𝑥-1-2𝑎,𝑥-1,3𝑥+1-2𝑎,-1≤𝑥≤𝑎,-𝑥+1+2𝑎,𝑥𝑎.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2𝑎-13,0,B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为23(a+1)2.由题设得23(a+1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,+∞).专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思绝对值不等式的求解方法:(1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c0)型不等式的解法:|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c,|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可.(2)|x-a|+|x-b|≥c(c0)和|x-a|+|x-b|≤c(c0)型不等式的解法:①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想;③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.答案答案关闭解:(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2.由此可得x≥3或x≤-1.故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}.(2)由f(x)≤0,得|x-a|+3x≤0.此不等式化为不等式组𝑥≥𝑎,𝑥-𝑎+3𝑥≤0或𝑥𝑎,𝑎-𝑥+3𝑥≤0,即𝑥≥𝑎,𝑥≤𝑎4或𝑥𝑎,𝑥≤-𝑎2.因为a0,所以不等式组的解集为𝑥𝑥≤-𝑎2.由题设可得-𝑎2=-1,故a=2.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四绝对值不等式的参数范围问题【思考】解决绝对值不等式的参数范围问题的常用方法有哪些?例2已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)设a-1,且当x∈-𝑎2,12时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解:(1)当a=-2时,不等式f(x)g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-30.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=-5𝑥,𝑥12,-𝑥-2,12≤𝑥≤1,3𝑥-6,𝑥1.其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y0.所以原不等式的解集是{x|0x2}.(2)当x∈-𝑎2,12时,f(x)=1+a,不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3,即x≥a-2.所以x≥a-2对x∈-𝑎2,12都成立.故-𝑎2≥a-2,即a≤43.从而a的取值范围是-1,43.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法:(1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决;(2)借助于绝对值的几何意义,先求出含参数的绝对值表达式的最值或取值范围,然后再根据题目要求,求解参数的取值范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)a恒成立⇔f(x)mina;f(x)a恒成立⇔f(x)maxa;f(x)a有解⇔f(x)maxa;f(x)a有解⇔f(x)mina;f(x)a无解⇔f(x)max≤a;f(x)a无解⇔f(x)min≥a.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2已知f(x)=|ax+1|(a∈R),不等式f(x)5的解集为{x|x2或x-3}.(1)求a的值;(2)若不等式f(x)-f𝑥2≤k在R上有解,求k的取值范围.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解:(1)由|ax+1|5,得ax4或ax-6.又f(x)5的解集为{x|x2或x-3},当a0时,解得x4𝑎或x-6𝑎,则a=2;当a≤0时,经验证不合题意.综上,a=2.(2)设g(x)=f(x)-f𝑥2,则g(x)=-𝑥,𝑥≤-1,-3𝑥-2,-1𝑥-12,𝑥,𝑥≥-12,函数g(x)的图象如图所示,由图象可知,g(x)≥-12,故原不等式在R上有解时,k≥-12,即k的取值范围是-12,+∞.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点不等式的证明【思考】不等式证明的常用方法有哪些?例3(2015全国Ⅱ高考)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若abcd,则𝑎+𝑏𝑐+𝑑;(2)𝑎+𝑏𝑐+𝑑是|a-b||c-d|的充要条件.-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四答案答案关闭证明:(1)因为(𝑎+𝑏)2=a+b+2𝑎𝑏,(𝑐+𝑑)2=c+d+2𝑐𝑑,由题设a+b=c+d,abcd得(𝑎+𝑏)2(𝑐+𝑑)2.因此𝑎+𝑏𝑐+𝑑.(2)①若|a-b||c-d|,则(a-b)2(c-d)2,即(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以abcd.由(1)得𝑎+𝑏𝑐+𝑑.②若𝑎+𝑏𝑐+𝑑,则(𝑎+𝑏)2(𝑐+𝑑)2,即a+b+2𝑎𝑏c+d+2𝑐𝑑.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b||c-d|.综上,𝑎+𝑏𝑐+𝑑是|a-b||c-d|的充要条件.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思不等式证明的常用方法是:比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3(1)设a≥b0,证明:3a3+2b3≥3a2b+2ab2;(2)证明:a6+8b6+127c6≥2a2b2c2;(3)若a,b,c为正实数,证明:a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc.答案答案关闭证明:(1)3a3+2b3-(3a2b+2ab2)=3a2(a-b)-2b2(a-b)=(a-b)(3a2-2b2).∵a≥b0,∴a-b≥0,3a2-2b20.∴(a-b)(3a2-2b2)≥0.∴3a3+2b3≥3a2b+2ab2.(2)∵a6+8b6+127c6≥3827a6b6c63=3×23a2b2c2=2a2b2c2,∴a6+8b6+127c6≥2a2b2c2.(3)∵a2+4b2≥2a2·4b2=4ab,a2+9c2≥2a2·9c2=6ac,4b2+9c2≥24b2·9c2=12bc,∴2a2+8b2+18c2≥4ab+6ac+12bc,即a2+4b2+9c2≥2ab+3ac+6bc.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四不等式的综合应用【思考】用什么定理或公式解决多变量代数式的最值问题?例4已知a,b为正实数.(1)求证:𝑎2𝑏+𝑏2𝑎≥a+b;(2)利用(1)的结论,求函数y=(1-𝑥)2𝑥+𝑥21-𝑥(0x1)的最小值.答案答案关闭(1)证法一:∵a0,b0,∴(a+b)𝑎2𝑏+𝑏2𝑎=a2+b2+𝑎3𝑏+𝑏3𝑎≥a2+b2+2ab=(a+b)2.∴𝑎2𝑏+𝑏2𝑎≥a+b,当且仅当a=b时等号成立.证法二:𝑎2𝑏+𝑏2𝑎-(a+b)=𝑎3+𝑏3-𝑎2𝑏-𝑎𝑏2𝑎𝑏=𝑎3-𝑎2𝑏-(𝑎𝑏2-𝑏3)𝑎𝑏=𝑎2(𝑎-𝑏)-𝑏2(𝑎-𝑏)𝑎𝑏=(𝑎-𝑏)2(𝑎+𝑏)𝑎𝑏.∵a0,b0,∴(𝑎-𝑏)2(𝑎+𝑏)𝑎𝑏≥0,当且仅当a=b时等号成立.∴𝑎2𝑏+𝑏2𝑎≥a+b.(2)解:∵0x1,∴1-x0,由(1)的结论,得函数y=(1-𝑥)2𝑥+𝑥21-𝑥≥(1-x)+x=1,当且仅当1-x=x,即x=12时等号成立.∴函数y=(1-𝑥)2𝑥+𝑥21-𝑥(0x1)的最小值为1.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思基本不等式在解决多变量代数式的最值问题中有着重要的应用,运用基本不等式时应注意其条件(一正、二定、三相等).专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4(2015湖南高考)设a0,b0,且a+b=1𝑎+1𝑏,证明:(1)a+b≥2;(2)a2+a2与b2+b2不可能同时成立.答案答案关闭证明:由a+b=1𝑎+1𝑏=𝑎+𝑏𝑎𝑏,a0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2𝑎𝑏=2,即a+b≥2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a2及a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.专题八8.3不等式选讲（选修4-5）考情分析高频考点核心归纳核心归纳-17-规律总结拓展演练1.解绝对值不等式常用的三种解题思路及应用的思想为:(1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;(2)利用“