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2.3导数在函数中的应用专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理21)(2012全国,理10)(2012全国,理21)(2013全国Ⅰ,理21)(2013全国Ⅱ,理21)(2014全国Ⅰ,理21)(2014全国Ⅱ,理21)(2015全国Ⅰ,理12)(2015全国Ⅰ,理21)(2015全国Ⅱ,理12)(2015全国Ⅱ,理21)选择题解答题导数是高中数学选修板块中重要的部分,应用广泛.高考命题既有考查基础的题型,如用导数求切线的斜率、判断单调性、求极值、最值等;又有重点考查能力的压轴题型,往往以数列、方程、不等式为背景,综合考查学生转化和化归、分类讨论、数形结合等数学思想的应用能力.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点有三个类型的题目:一是利用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性,进而求函数的极值或最值;二是利用导数探求参数的取值范围;三是利用导数解决不等式问题及函数的零点、方程根的问题.一、导数与函数的单调性、极值、最值专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三利用导数讨论函数的单调性【思考】函数的导数与函数的单调性具有怎样的关系?例1已知函数f(x)=x+𝑎𝑥(a∈R),g(x)=lnx.求函数F(x)=f(x)+g(x)的单调区间.专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-命题热点一命题热点二命题热点三解:函数F(x)=f(x)+g(x)=x+𝑎𝑥+lnx的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=1-𝑎𝑥2+1𝑥=𝑥2+𝑥-𝑎𝑥2.(1)当Δ=1+4a≤0,即a≤-14时,得x2+x-a≥0,则f'(x)≥0.所以函数F(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)当Δ=1+4a0,即a-14时,令f'(x)=0,得x2+x-a=0,解得x1=-1-1+4𝑎20,x2=-1+1+4𝑎2.①若-14a≤0,则x2=-1+1+4𝑎2≤0.因为x∈(0,+∞),所以f'(x)0,所以函数F(x)在(0,+∞)上单调递增.专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-命题热点一命题热点二命题热点三②若a0,则当x∈0,-1+1+4𝑎2时,f'(x)0;当x∈-1+1+4𝑎2,+∞时,f'(x)0.所以函数F(x)在区间0,-1+1+4𝑎2上单调递减,在区间-1+1+4𝑎2,+∞上单调递增.综上所述,当a≤0时,函数F(x)的单调递增区间为(0,+∞);当a0时,函数F(x)的单调递减区间为0,-1+1+4𝑎2,单调递增区间为-1+1+4𝑎2,+∞.专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思利用函数的导数研究函数的单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域.(2)求导数f'(x).(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数y=f(x)的定义域内解(或证明)不等式f'(x)0或f'(x)0;②若已知y=f(x)的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1(2015湖南高考)设函数f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则f(x)是()A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数答案解析解析关闭要使函数有意义,应满足1+𝑥0,1-𝑥0,解得-1x1,即函数f(x)定义域为(-1,1),关于原点对称.此时f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),所以f(x)为奇函数.又f'(x)=11+𝑥−-11-𝑥=21-𝑥2,当x∈(0,1)时,21-𝑥20,即f'(x)0,所以f(x)在(0,1)上是增函数.故选A.答案解析关闭A专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-命题热点一命题热点二命题热点三利用导数求函数的极值或最值【思考】函数的极值与导数有怎样的关系?如何求函数的最值?例2(2015安徽合肥一模)已知函数f(x)=ex(x2+ax-a).(1)当a=1时,求f(x)的极值;(2)当a≤-4时,求函数f(x)在[0,3]上的最小值.答案答案关闭(1)当a=1时,f(x)=ex(x2+x-1),由f'(x)=ex(x2+x-1)+ex(2x+1)=ex(x2+3x)=0,得x=0或x=-3.∴f(x)在(-∞,-3)上为增函数,在(-3,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数.∴f(x)的极小值为f(0)=-1,f(x)的极大值为f(-3)=5e-3.(2)由f'(x)=ex(x2+ax-a)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x]=0,得x=0或x=-a-2(由a≤-4,知-a-2≥2).易得f(x)在(-∞,0)上为增函数,在(0,-a-2)上为减函数,在(-a-2,+∞)上为增函数;①当-5a≤-4时,2≤-a-23,此时f(x)在(0,-a-2)上为减函数,在(-a-2,3)上为增函数,∴f(x)min=f(-a-2)=e-a-2(a+4).②当a≤-5时,-a-2≥3,此时f(x)在[0,3]上为减函数,f(x)min=f(3)=e3(2a+9).专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.对于函数y=f(x),若在点x=a处有f'(a)=0,且在点x=a附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则当x=a时f(x)有极小值f(a);若在点x=b处有f'(b)=0,且在点x=b附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,则当x=b时f(x)有极大值f(b).2.求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2已知函数f(x)=ax2+1(a0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-命题热点一命题热点二命题热点三解:(1)f'(x)=2ax,g'(x)=3x2+b.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f'(1)=g'(1),即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.(2)记h(x)=f(x)+g(x).当b=14a2时,h(x)=x3+ax2+14a2x+1,则h'(x)=3x2+2ax+14a2.令h'(x)=0,得x1=-𝑎2,x2=-𝑎6.当a0时,h(x),h'(x)的变化情况如下表:x-∞,-a2-a2-a2,-a6-a6-a6,+∞h'(x)+0-0+h(x)↗极大值↘极小值↗专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-命题热点一命题热点二命题热点三所以函数h(x)的单调递增区间为-∞,-𝑎2和-𝑎6,+∞;单调递减区间为-𝑎2,-𝑎6.当-𝑎2≥-1,即0a≤2时,函数h(x)在区间(-∞,-1]上单调递增,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h(-1)=a-14a2.当-𝑎2-1,且-𝑎6≥-1,即2a≤6时,函数h(x)在区间-∞,-𝑎2上单调递增,在区间-𝑎2,-1上单调递减,h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h-𝑎2=1.当-𝑎6-1,即a6时,函数h(x)在区间-∞,-𝑎2上单调递增,在区间-𝑎2,-𝑎6内单调递减,在区间-𝑎6,-1上单调递增,又h-𝑎2-h(-1)=1-a+14a2=14(a-2)20,所以h(x)在区间(-∞,-1]上的最大值为h-𝑎2=1.专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-命题热点一命题热点二命题热点三利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围【思考】如何利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围?例3(2015全国Ⅰ高考)已知函数f(x)=x3+ax+14,g(x)=-lnx.(1)当a为何值时,x轴为曲线y=f(x)的切线;(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,设函数h(x)=min{f(x),g(x)}(x0),讨论h(x)零点的个数.专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-命题热点一命题热点二命题热点三解:(1)设曲线y=f(x)与x轴相切于点(x0,0),则f(x0)=0,f'(x0)=0,即𝑥03+𝑎𝑥0+14=0,3𝑥02+𝑎=0.解得x0=12,a=-34.因此,当a=-34时,x轴为曲线y=f(x)的切线.(2)当x∈(1,+∞)时,g(x)=-lnx0,从而h(x)=min{f(x),g(x)}≤g(x)0,故h(x)在(1,+∞)无零点.当x=1时,若a≥-54,则f(1)=a+54≥0,h(1)=min{f(1),g(1)}=g(1)=0,故x=1是h(x)的零点;若a-54,则f(1)0,h(1)=min{f(1),g(1)}=f(1)0,故x=1不是h(x)的零点.当x∈(0,1)时,g(x)=-lnx0.所以只需考虑f(x)在(0,1)的零点个数.(ⅰ)若a≤-3或a≥0,则f'(x)=3x2+a在(0,1)无零点,故f(x)在(0,1)单调.专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-命题热点一命题热点二命题热点三而f(0)=14,f(1)=a+54,所以当a≤-3时,f(x)在(0,1)有一个零点;当a≥0时,f(x)在(0,1)没有零点.(ⅱ)若-3a0,则f(x)在0,-𝑎3单调递减,在-𝑎3,1单调递增,故在(0,1)中,当x=-𝑎3时,f(x)取得最小值,最小值为f-𝑎3=2𝑎3-𝑎3+14.①若f-𝑎30,即-34a0,f(x)在(0,1)无零点;②若f-𝑎3=0,即a=-34,则f(x)在(0,1)有唯一零点;③若f-𝑎30,即-3a-34,由于f(0)=14,f(1)=a+54,所以当-54a-34时,f(x)在(0,1)有两个零点;当-3a≤-54时,f(x)在(0,1)有一个零点.综上,当a-34或a-54时,h(x)有一个零点;当a=-34或a=-54时,h(x)有两个零点;当-54a-34时,h(x)有三个零点.专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-17-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的位置关系(或者转化为两个熟悉函数的交点问题),进而确定参数的取值范围.专题二一、导数与函数的单调性、极值、最值考情分析高频考点核心归纳高频考点-18-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若关于x的方程f(x)=x