高考数学-云师堂8.1

专题八选修4系列8.1几何证明选讲（选修4-1）专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳考情分析-3-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理22)(2012全国,理22)(2013全国Ⅰ,理22)(2013全国Ⅱ,理22)(2014全国Ⅰ,理22)(2014全国Ⅱ,理22)(2015全国Ⅰ,理22)(2015全国Ⅱ,理22)解答题从近五年的高考试题来看,高考主要考查相似三角形与射影定理,圆的切线及圆内接三角形,圆的内接四边形的性质与判定定理,圆周角定理及弦切角定理,相交弦、切割线、割线定理等.高考命题的热点是圆及其性质,即使考查三角形、四边形也多是以圆为背景设计的综合性考题,考查逻辑推理能力.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是相似三角形的应用;与圆的内接三角形有关的问题;四点共圆问题;相交弦定理、割线定理、切割线定理、切线长定理的应用等.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四相似三角形的应用【思考】判定三角形相似的常用方法有哪些?例1如图,△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明:△ABE∽△ADC;(2)若△ABC的面积S=12AD·AE,求∠BAC的大小.答案答案关闭(1)证明:由已知条件,可得∠BAE=∠CAD.因为∠AEB与∠ACD是同弧所对的圆周角,所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)解:因为△ABE∽△ADC,所以𝐴𝐵𝐴𝐷=𝐴𝐸𝐴𝐶,即AB·AC=AD·AE.又S=12AB·AC·sin∠BAC,且S=12AD·AE,故AB·AC·sin∠BAC=AD·AE.则sin∠BAC=1.又∠BAC为△ABC的内角,所以∠BAC=90°.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思判定三角形相似的常用方法:(1)利用三角形相似的判定定理;(2)利用平行线分线段成比例定理.当三角形在圆中时,注意与圆有关的定理及性质的运用.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1(2015河南商丘二模)如图,四边形ABCD内接于☉O,过点A作☉O的切线EP交CB的延长线于P,已知∠EAD=∠PCA.证明:(1)AD=AB;(2)DA2=DC·BP.答案答案关闭证明:(1)∵EP与☉O相切于点A,∴∠EAD=∠DCA.又∠EAD=∠PCA,∴∠DCA=∠PCA,∴AD=AB.(2)∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠D=∠PBA.又∠DCA=∠PCA=∠PAB,∴△ADC∽△PBA.∴𝐷𝐴𝐵𝑃=𝐷𝐶𝐵𝐴,即𝐷𝐴𝐵𝑃=𝐷𝐶𝐷𝐴,∴DA2=DC·BP.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四四点共圆的问题【思考】判断四点共圆的常用方法有哪些?例2如图,AB为☉O的直径,弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证:(1)∠DEA=∠DFA;(2)AB2=BE·BD-AE·AC.答案答案关闭证明:(1)连接AD.∵AB为圆的直径,∴∠ADB=90°.又EF⊥AB,即∠EFA=90°,∴A,D,E,F四点共圆,∴∠DEA=∠DFA.(2)由(1)知,BD·BE=BA·BF,又△ABC∽△AEF,∴𝐴𝐵𝐴𝐸=𝐴𝐶𝐴𝐹,即AB·AF=AE·AC,∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB(BF-AF)=AB2.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思判断四点共圆的常用方法有:(1)直接找出一点到所证四点的距离相等;(2)证明四个点构成的四边形的对角互补或外角等于内对角;(3)利用相交弦定理以及割线定理的逆定理证明四点共圆;(4)证明线段同侧的两点对线段的张角相等,则这两点以及线段的两个端点共圆.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2如图,锐角三角形ABC的内心为I,过点A作直线BI的垂线,垂足为H,内切圆I与边CA相切于点E.(1)求证:四点A,I,H,E共圆;(2)若∠C=50°,求∠IEH的度数.答案答案关闭(1)证明:由圆I与边AC相切于点E,得IE⊥AE,结合IH⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°.所以四点A,I,H,E共圆.(2)解:由(1)知四点A,I,H,E共圆,则∠IEH=∠HAI.在△HIA中,∠HIA=∠ABI+∠BAI=12∠ABC+12∠BAC=12(∠ABC+∠BAC)=12(180°-∠C)=90°-12∠C.结合IH⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA=12∠C,所以∠IEH=12∠C.由∠C=50°,得∠IEH=25°.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四相交弦定理、切割线定理及其应用【思考】相交弦定理、切割线定理及其推论和切线长定理之间有着怎样的联系?例3如图,P是☉O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与☉O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交☉O于点E.证明:(1)BE=EC;(2)AD·DE=2PB2.答案答案关闭证明:(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,故∠PAD=∠PDA.因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,∠PAD=∠BAD+∠PAB,∠DCA=∠PAB,所以∠DAC=∠BAD,从而𝐵𝐸=𝐸𝐶.因此BE=EC.(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,所以AD·DE=2PB2.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思若☉O的两条弦AB,CD相交于点P,则PA·PB=PC·PD.这就是相交弦定理;当点P运动到圆外时,两弦的延长线交于圆外一点P,成为两条割线,则有PA·PB=PC·PD,这就是割线定理;当一条割线PCD变成切线PC,这时有PA·PB=PC2,这就是切割线定理;当两条割线都变成切线,这时有PA2=PB2,即PA=PB,这就是切线长定理.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3(2015河南六市联考)如图,已知PA与☉O相切,A为切点,过点P的割线交圆于B,C两点,弦CD∥AP,AD,BC相交于点E,F为CE上一点,且DE2=EF·EC.(1)求证:CE·EB=EF·EP;(2)若CE∶BE=3∶2,DE=3,EF=2,求PA的长.答案答案关闭(1)证明:∵DE2=EF·EC,∠DEF=∠DEF,∴△DEF∽△CED,∴∠EDF=∠C.∵CD∥AP,∴∠P=∠C,∴∠EDF=∠P.又∠DEF=∠PEA,∴△EDF∽△EPA,∴𝐸𝐴𝐸𝐹=𝐸𝑃𝐸𝐷,∴EA·ED=EF·EP.∵EA·ED=CE·EB,∴CE·EB=EF·EP.(2)解:∵DE2=EF·EC,DE=3,EF=2,∴EC=92.∵CE∶BE=3∶2,∴BE=3.由(1)可知CE·EB=EF·EP,解得EP=274.∴BP=EP-EB=154.∵PA是☉O的切线,∴PA2=PB·PC,∴PA2=154×274+92,解得PA=1534.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四圆的有关性质的综合应用【思考】对于已知圆的切线的问题,应从哪些方面考虑解决问题的思路?例4(2015全国Ⅱ高考)如图,O为等腰三角形ABC内一点,☉O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.(1)证明:EF∥BC;(2)若AG等于☉O的半径,且AE=MN=23,求四边形EBCF的面积.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)证明:由于△ABC是等腰三角形,AD⊥BC,所以AD是∠CAB的平分线.又因为☉O分别与AB,AC相切于点E,F,所以AE=AF,故AD⊥EF.从而EF∥BC.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)解:由(1)知,AE=AF,AD⊥EF,故AD是EF的垂直平分线.又EF为☉O的弦,所以O在AD上.连接OE,OM,则OE⊥AE.由AG等于☉O的半径得AO=2OE,所以∠OAE=30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形.因为AE=23,所以AO=4,OE=2.因为OM=OE=2,DM=12MN=3,所以OD=1.于是AD=5,AB=1033.所以四边形EBCF的面积为12×10332×32−12×(23)2×32=1633.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思已知圆的切线时,第一要考虑过切点和圆心的连线得直角;第二要考虑弦切角定理;第三涉及线段成比例或线段的积时要考虑切割线定理.同时注意四点共圆的判定及性质的应用.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4如图,已知点C是以AB为直径的半圆O上一点,过点C的直线交AB的延长线于点E,交过点A的圆O的切线于点D,BC∥OD,AD=AB=2.(1)求证:直线DC是圆O的切线;(2)求线段EB的长.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)证明:连接AC,OC.AB是直径,则BC⊥AC.由BC∥OD,得OD⊥AC,则OD是AC的中垂线.所以∠OCA=∠OAC,∠DCA=∠DAC,所以∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°.所以OC⊥DE,所以DC是圆O的切线.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳高频考点-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)解:因为BC∥OD,所以∠CBA=∠DOA.又∠BCA=∠DAO,所以△ABC∽△DOA.所以𝐵𝐶𝑂𝐴=𝐴𝐵𝑂𝐷.所以BC=𝑂𝐴·𝐴𝐵𝑂𝐷=255.所以𝐵𝐶𝑂𝐷=25.所以𝐵𝐸𝑂𝐸=25.所以𝐵𝐸𝑂𝐵=23.所以BE=23.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳核心归纳-20-规律总结拓展演练1.证明两角相等,可以通过证明三角形相似或全等,利用平行线的有关定理,如同位角相等、内错角相等等,也可利用特殊平面图形的性质,如利用等腰三角形的两个底角相等、圆中同弧或等弧所对的圆周角相等寻找中间量进行过渡.2.证明或寻找圆内接图形中的角之间的关系,除了注意平面图形中的垂直、平行关系之外,还应注意弦切角、同弧所对角等性质的灵活运用.3.圆内接四边形的性质定理是探求圆中角相等或互补关系的常用定理,使用时要注意观察图形,要弄清四边形的外角和它的内对角的位置.这类问题一般转化为圆周角、圆心角、切线角以及圆内接四边形的对角等,再利用题目中所给条件解决问题.专题八8.1几何证明选讲(选修4—1)考情分析高频考点核心归纳核心归纳-21-规律总结拓展演练1.(2015江苏高考)如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆☉O的弦AE交BC于点D.求证