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专题四数列4.1等差数列与等比数列专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳考情分析-3-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理17)(2012全国,理5)(2013全国Ⅰ,理7)(2013全国Ⅱ,理3)(2013全国Ⅱ,理16)(2014全国Ⅰ,理17)(2014全国Ⅱ,理17)(2015全国Ⅱ,理4)(2015全国Ⅱ,理16)选择题填空题解答题等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查;对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是等差数列与等比数列的基本量的求解;利用等差数列与等比数列的性质求数列中的基本量;等差数列与等比数列的证明;求解等差数列、等比数列的综合问题.专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四等差数列与等比数列的基本量的求解【思考】如何求解等差数列与等比数列的基本量?例1已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=52,a2+a4=54,则𝑆𝑛𝑎𝑛=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-1答案解析解析关闭解析:∵𝑎1+𝑎3=52,𝑎2+𝑎4=54,∴𝑎1+𝑎1𝑞2=52,①𝑎1𝑞+𝑎1𝑞3=54.②由①除以②可得1+𝑞2𝑞+𝑞3=2,解得q=12,代入①得a1=2.∴an=2×12𝑛-1=42𝑛,∴Sn=2×1-12𝑛1-12=41-12𝑛,∴𝑆𝑛𝑎𝑛=41-12𝑛42𝑛=2n-1.故选D.答案解析关闭D专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-题后反思等差数列、等比数列的通项公式,求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,然后根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-对点训练1(1)(2015全国Ⅰ高考)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.172B.192C.10D.12(2)(2015安徽高考)已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的前n项和等于.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四答案解析解析关闭解析:(1)∵公差d=1,S8=4S4,∴8(𝑎1+𝑎8)2=4×4(𝑎1+𝑎4)2,即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=12.∴a10=a1+9d=12+9=192.(2)设数列{an}的公比为q,由已知条件可得𝑎1+𝑎1𝑞3=9,𝑎12𝑞3=8,解得𝑎1=8,𝑞=12或𝑎1=1,𝑞=2.因为{an}是递增的等比数列,所以𝑎1=1,𝑞=2.所以{an}是以1为首项,2为公比的等比数列,故Sn=2n-1.答案解析关闭(1)B(2)2n-1专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-等差数列与等比数列的判定与证明【思考】证明数列{an}是等差数列或等比数列的基本方法有哪些?例2已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+1.(1)证明𝑎𝑛+12是等比数列,并求{an}的通项公式;(2)证明1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛32.答案答案关闭(1)由an+1=3an+1,得an+1+12=3𝑎𝑛+12.又a1+12=32,所以𝑎𝑛+12是首项为32,公比为3的等比数列.所以an+12=3𝑛2,因此{an}的通项公式为an=3𝑛-12.(2)由(1)知1𝑎𝑛=23𝑛-1.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以13𝑛-1≤12×3𝑛-1.于是1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛≤1+13+…+13𝑛-1=321-13𝑛32.所以1𝑎1+1𝑎2+…+1𝑎𝑛32.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-题后反思1.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:(1)利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为常数;(2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n≥2).2.证明数列{an}是等比数列的两种基本方法:(1)利用定义,证明𝑎𝑛+1𝑎𝑛(n∈N*)为常数;(2)利用等比中项,证明𝑎𝑛2=an-1an+1(n≥2,且an≠0).命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=14,且Sn=Sn-1+an-1+12(n∈N*,n≥2).数列{bn}满足:b1=-1194,且3bn-bn-1=n(n≥2,且n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn-an}为等比数列.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-(1)解:由Sn=Sn-1+an-1+12,得Sn-Sn-1=an-1+12,即an-an-1=12(n∈N*,n≥2),则数列{an}是以12为公差的等差数列,故an=a1+(n-1)×12=12n-14(n∈N*).(2)证明:∵3bn-bn-1=n(n≥2),∴bn=13bn-1+13n(n≥2),∴bn-an=13bn-1+13n-12n+14=13bn-1-16n+14=13𝑏𝑛-1-12𝑛+34(n≥2),命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-bn-1-an-1=bn-1-12(n-1)+14=bn-1-12n+34(n≥2).∴bn-an=13(bn-1-an-1)(n≥2).∵b1-a1=-30≠0,∴𝑏𝑛-𝑎𝑛𝑏𝑛-1-𝑎𝑛-1=13(n≥2),∴数列{bn-an}是以-30为首项,13为公比的等比数列.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-等差数列与等比数列性质的应用【思考】常用的等差、等比数列的性质有哪些?例3在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=158,a8·a9=-98,则1𝑎7+1𝑎8+1𝑎9+1𝑎10=.答案解析解析关闭∵1𝑎7+1𝑎10=𝑎7+𝑎10𝑎7𝑎10,1𝑎8+1𝑎9=𝑎8+𝑎9𝑎8𝑎9,且在等比数列{an}中,a8a9=a7a10,∴1𝑎7+1𝑎8+1𝑎9+1𝑎10=𝑎7+𝑎8+𝑎9+𝑎10𝑎8𝑎9=158-98=-53.答案解析关闭-53命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-题后反思等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用.(1)等差数列的性质:①an=am+(n-m)d(n,m∈N*);②若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*);③设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也成等差数列.(2)等比数列的性质:①an=amqn-m(m,n∈N*);②若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);③若等比数列{an}的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也成等比数列.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-对点训练3在等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前13项的和是()A.13B.26C.52D.156命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四答案解析解析关闭解析:∵a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10,∴6a4+6a10=24,即a4+a10=4,∴S13=13(𝑎1+𝑎13)2=13(𝑎4+𝑎10)2=26.答案解析关闭B专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-等差数列、等比数列的综合问题【思考】解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?例4已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式.(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.答案答案关闭(1)设数列{an}的公差为d,依题意,得2,2+d,2+4d成等比数列,则(2+d)2=2(2+4d).化简,得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2.故数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800,此时不存在正整数n,使得Sn60n+800成立.当an=4n-2时,Sn=𝑛[2+(4𝑛-2)]2=2n2.令2n260n+800,即n2-30n-4000,解得n40或n-10(舍去),此时存在正整数n,使得Sn60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-题后反思等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理运用相关知识,就能解决这类问题.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳高频考点-17-对点训练4等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为.答案解析解析关闭设数列{an}的首项为a1,公差为d,则S10=10a1+10×92d=10a1+45d=0,①S15=15a1+15×142d=15a1+105d=25.②联立①②,得a1=-3,d=23,所以Sn=-3n+𝑛(𝑛-1)2×23=13n2-103n.令f(n)=nSn,则f(n)=13n3-103n2,f'(n)=n2-203n.令f'(n)=0,得n=0或n=203.当n203时,f'(n)0,当0n203时,f'(n)0,所以当n=203时,f(n)取最小值.而n∈N*,所以f(6)=-48,f(7)=-49,所以当n=7时,f(n)取最小值-49.答案解析关闭-49命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题四4.1等差数列与等比数列考情分析高频考点核心归纳核心归纳-18-规律总结拓展演练1.等差数列、等比数列的基本运算,一般通过其通项公式与前n项和公式构造关于a1与d、a1与q的方程(组)解决.在求解过程中灵活运用等差数列、等比数列的性质,不仅可以快速获解,而且有助于加深对等差数列、等比数列问题的认识.2.解决等差数列{an}前n项和问题常用的三个公式是:Sn=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2;Sn=na1+𝑛(�