高考数学-云师堂5.2

5.2空间中的平行与垂直专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理18)(2012全国,理19)(2013全国Ⅰ,理18)(2013全国Ⅱ,理18)(2014全国Ⅰ,理19)(2014全国Ⅱ,理18)(2015全国Ⅰ,理18)解答题高考对空间点、线、面位置关系的考查主要有两种形式:一是对命题真假的判断,通常以选择题、填空题的形式考查,难度不大,也不是高考的热点;二是在解答题中考查平行、垂直关系的证明,常以柱体、锥体为载体,难度中档偏难,是高考的热点.预计随着高考对能力要求的不断加强,今后对空间中平行、垂直关系及体积中的探索性问题的考查会逐渐升温.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是空间中平行、垂直关系及体积中的探索性问题.专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三线线、线面平行或垂直的判定与性质【思考】判断或证明线面、线线平行或垂直的常用方法有哪些?例1(2015广东高考)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC∥平面PDA;(2)证明:BC⊥PD;(3)求点C到平面PDA的距离.专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-(1)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC∥AD.因为BC⊄平面PDA,AD⊂平面PDA,所以BC∥平面PDA.(2)证明:因为四边形ABCD是长方形,所以BC⊥CD.因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC,所以BC⊥PD.(3)解:取CD的中点E,连接AE和PE.因为PD=PC,所以PE⊥CD.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-在Rt△PED中,PE=𝑃𝐷2-𝐷𝐸2=42-32=7.因为平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PDC,所以PE⊥平面ABCD.由(2)知BC⊥平面PDC.由(1)知BC∥AD.所以AD⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC,所以AD⊥PD.设点C到平面PDA的距离为h,因为V三棱锥C-PDA=V三棱锥P-ACD,所以13S△PDA·h=13S△ACD·PE,即h=𝑆△𝐴𝐶𝐷·𝑃𝐸𝑆△𝑃𝐷𝐴=12×3×6×712×3×4=372,所以点C到平面PDA的距离是372.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-题后反思1.解决此类问题要注意线线平行(垂直)、线面平行(垂直)与面面平行(垂直)的相互转化.在解决线线平行、线面平行问题时,若题目中已出现了中点,可考虑在图形中再取中点,构成中位线进行证明.2.要证线面平行,先在平面内找一条直线与已知直线平行,或找一个经过已知直线与已知平面相交的平面,找出交线,证明两线平行.3.要证线线平行,可考虑公理4或转化为线面平行.4.要证线面垂直可转化为证明线线垂直,应用线面垂直的判定定理与性质定理进行转化.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-对点训练1(2015北京西城高三一模)如图,在五面体ABCDEF中,四边形ABCD为正方形,EF∥AD,平面ADEF⊥平面ABCD,且BC=2EF,AE=AF,点G是EF的中点.(1)证明:AG⊥CD;(2)若点M在线段AC上,且𝐴𝑀𝑀𝐶=13,求证:GM∥平面ABF;(3)已知空间中有一点O到A,B,C,D,G五点的距离相等,请指出点O的位置.(只需写出结论)命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-(1)证明:因为AE=AF,点G是EF的中点,所以AG⊥EF.又因为EF∥AD,所以AG⊥AD.因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,AG⊂平面ADEF,所以AG⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD,所以AG⊥CD.(2)证明:如图,过点M作MN∥BC,交AB于点N,连接NF.因为𝐴𝑀𝑀𝐶=13,所以𝑀𝑁𝐵𝐶=𝐴𝑀𝐴𝐶=14.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-因为BC=2EF,点G是EF的中点,所以BC=4GF.又因为EF∥AD,四边形ABCD为正方形,所以GF∥MN,GF=MN.所以四边形GFNM是平行四边形.所以GM∥FN.又因为GM⊄平面ABF,FN⊂平面ABF,所以GM∥平面ABF.(3)解:点O为线段GC的中点.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-面面平行或垂直的判定与性质【思考】判定面面平行或垂直有哪些基本方法?例2(2015全国Ⅰ高考)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.(1)证明:平面AEC⊥平面BED;(2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E-ACD的体积为63,求该三棱锥的侧面积.答案答案关闭(1)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以AC⊥BD.因为BE⊥平面ABCD,所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面BED.(2)解:设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,可得AG=GC=32x,GB=GD=𝑥2.因为AE⊥EC,所以在Rt△AEC中,可得EG=32x.由BE⊥平面ABCD,知△EBG为直角三角形,可得BE=22x.由已知得,三棱锥E-ACD的体积VE-ACD=13×12AC·GD·BE=624x3=63.故x=2.从而可得AE=EC=ED=6.所以△EAC的面积为3,△EAD的面积与△ECD的面积均为5.故三棱锥E-ACD的侧面积为3+25.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-题后反思1.判定面面平行的四个方法:(1)利用定义:即判断两个平面没有公共点;(2)利用面面平行的判定定理;(3)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(4)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.2.面面垂直的证明方法:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角.3.从解题方法上说,由于线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间可以相互转化,因此整个解题过程始终沿着线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转化途径进行.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-对点训练2如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形ABB1A1是正方形,AC=AB=1,A1C=A1B,B1C1∥BC,B1C1=12BC.(1)求证:平面A1AC⊥平面ABC;(2)求证:AB1∥平面A1C1C.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-证明:(1)∵四边形ABB1A1为正方形,∴A1A=AB=AC=1,A1A⊥AB,∴A1B=2.∵A1C=A1B,∴A1C=2.∴∠A1AC=90°,∴A1A⊥AC.∵AB∩AC=A,∴A1A⊥平面ABC.∵A1A⊂平面A1AC,∴平面A1AC⊥平面ABC.(2)取BC的中点E,连接AE,C1E,B1E.∵B1C1∥BC,B1C1=12BC,命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-∴B1C1∥EC,B1C1=EC.∴四边形CEB1C1为平行四边形.∴B1E∥C1C.∵C1C⊂平面A1C1C,B1E⊄平面A1C1C,∴B1E∥平面A1C1C.∵B1C1∥BC,B1C1=12BC,∴B1C1∥BE,B1C1=BE.∴四边形BB1C1E为平行四边形.∴B1B∥C1E,且B1B=C1E.∵四边形ABB1A1是正方形,∴A1A∥C1E,且A1A=C1E.∴四边形AEC1A1为平行四边形,∴AE∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1C,AE⊄平面A1C1C,∴AE∥平面A1C1C.∵AE∩B1E=E,∴平面B1AE∥平面A1C1C.∵AB1⊂平面B1AE,∴AB1∥平面A1C1C.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-平行、垂直关系及体积中的探索性问题【思考】解决探索性问题的基本方法有哪些?例3在如图所示的几何体中,四边形CDEF为正方形,四边形ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC=3,AB=2BC=2,AC⊥FB.(1)求证:AC⊥平面FBC;(2)求四面体F-BCD的体积;(3)线段AC上是否存在点M,使EA∥平面FDM?证明你的结论.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-(1)证明:在△ABC中,因为AC=3,AB=2,BC=1,所以AC⊥BC.又因为AC⊥FB,BC∩FB=B,所以AC⊥平面FBC.(2)解:因为AC⊥平面FBC,所以AC⊥FC.因为CD⊥FC,AC∩CD=C,所以FC⊥平面ABCD.在等腰梯形ABCD中,可得CB=DC=1,所以FC=1.所以△BCD的面积为S=34.所以四面体F-BCD的体积为VF-BCD=13S·FC=312.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-17-(3)解:线段AC上存在点M,且M为AC中点时,有EA∥平面FDM.证明如下:连接CE,与DF交于点N,取AC的中点M,连接MN,如图.因为四边形CDEF为正方形,所以N为CE的中点.所以EA∥MN.因为MN⊂平面FDM,EA⊄平面FDM,所以EA∥平面FDM.所以线段AC上存在点M,使得EA∥平面FDM成立.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-18-题后反思1.对命题条件的探索的三种途径:(1)先猜后证,即先观察与尝试给出条件再证明;(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件,再证明充分性;(3)将几何问题转化为代数问题,探索出命题成立的条件.2.对命题结论的探索方法:从条件出发,探索出要求的结论是什么,对于探索结论是否存在,求解时常假设结论存在,再寻找与条件相容或者矛盾的结论.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.2空间中的平行与垂直考情分析高频考点核心归纳高频考点-19-对点训练3如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,CD=2AB=4,AD=2,E为CD的中点,将△BCE沿BE折起,使得CO⊥DE,其中点O在线段DE内.(1)求证:CO⊥平面ABED;(2)求∠CEO(记为θ)多大时,三棱锥C-AOE的体积最大?最大值为多少?答案答案关闭(1)证明:在直角梯形ABCD中,CD=2AB,E为CD的中点,则AB=DE.又AB∥DE,AD⊥AB,知BE⊥CD.在四棱锥C-ABED中,BE⊥DE,BE⊥CE,CE∩DE=E,CE,DE⊂平面CDE,则BE⊥平面CDE.因为CO⊂平面CDE,所以BE⊥CO.又CO⊥DE,且BE,DE是平面ABED内两条相交直线,故CO⊥平面ABED.(2)解:由(1)知CO⊥平面ABED,知三棱锥C-AOE的体积V=13S△AOE·OC=13×12×OE×AD×OC.由直角梯形ABCD中,CD=2AB=4,AD=2,CE=2,得三棱锥C-AOE中,OE=CE·cosθ=2cosθ,OC=CE·sinθ=2sinθ,V=23sin2θ≤23,当且仅当sin2θ=