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7.3随机变量及其分布专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理19)(2012全国,理15)(2012全国,理18)(2013全国Ⅰ,理19)(2013全国Ⅱ,理19)(2014全国Ⅰ,理18)(2015全国Ⅰ,理4)选择题填空题解答题离散型随机变量分布列的计算涉及排列、组合和概率的知识,综合性强,是高考考查的重点;两点分布、超几何分布和二项分布等重要的概率模型,应用性强,更是高考命题的重中之重;高考常把随机变量的分布列、均值和方差结合在一起重点考查考生分析、解决实际问题的能力.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是条件概率与相互独立事件的概率;离散型随机变量及其分布列;二项分布与正态分布;离散型随机变量的分布列、均值与方差.专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四条件概率与相互独立事件的概率【思考】如何求事件的条件概率?判断相互独立事件的常用方法有哪些?例1(2015全国Ⅱ高考)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:A地区:6273819295857464537678869566977888827689B地区:7383625191465373648293486581745654766579专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-(2)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:记事件C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”.假设两地区用户的评价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率.满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出结论即可);专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-解:(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下:通过茎叶图可以看出,A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值;A地区用户满意度评分比较集中,B地区用户满意度评分比较分散.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-(2)记CA1表示事件:“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”;CA2表示事件:“A地区用户的满意度等级为非常满意”;CB1表示事件:“B地区用户的满意度等级为不满意”;CB2表示事件:“B地区用户的满意度等级为满意”,则CA1与CB1独立,CA2与CB2独立,CB1与CB2互斥,C=CB1CA1∪CB2CA2.P(C)=P(CB1CA1∪CB2CA2)=P(CB1CA1)+P(CB2CA2)=P(CB1)P(CA1)+P(CB2)P(CA2).由所给数据得CA1,CA2,CB1,CB2发生的频率分别为1620,420,1020,820,故P(CA1)=1620,P(CA2)=420,P(CB1)=1020,P(CB2)=820,P(C)=1020×1620+820×420=0.48.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-题后反思1.条件概率的两种求解方法:(1)定义法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)求P(B|A).(2)基本事件法:借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=𝑛(𝐴𝐵)𝑛(𝐴).2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义:事件A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)·P(B).(2)利用性质:A与B相互独立,则A与𝐵,𝐴与B,𝐴与𝐵也都相互独立.(3)具体背景下:①有放回地摸球,每次摸球结果是相互独立的.②当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-对点训练1(1)从1,2,3,4,5中任取两个不同的数,事件A为“取到的两个数之和为偶数”,事件B为“取到的两个数均为偶数”,则P(B|A)=()A.18B.14C.25D.12(2)甲、乙两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为.答案解析解析关闭解析:(1)P(A)=C32+C22C52=410,P(AB)=C22C52=110.由条件概率计算公式,得P(B|A)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)=110410=14.(2)设事件A:甲实习生加工的零件为一等品;事件B:乙实习生加工的零件为一等品,则P(A)=23,P(B)=34,所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A𝐵)+P(𝐴B)=P(A)P(𝐵)+P(𝐴)P(B)=23×1-34+1-23×34=512.答案解析关闭(1)B(2)512命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-离散型随机变量及其分布列【思考】如何求离散型随机变量及其分布列?例2一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.答案答案关闭解:(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=416×116+116×12=364.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1-416−116=1116,P(X=500)=116,P(X=800)=14.所以X的分布列为X400500800P111611614E(X)=400×1116+500×116+800×14=506.25.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-题后反思求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定X的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-对点训练2(2015安徽高考)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).答案答案关闭解:(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,P(A)=A21A31A52=310.(2)X的可能取值为200,300,400.P(X=200)=A22A52=110,P(X=300)=A33+C21C31A22A53=310,P(X=400)=1-P(X=200)-P(X=300)=1-110−310=610.故X的分布列为X200300400P110310610E(X)=200×110+300×310+400×610=350.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-二项分布与正态分布【思考】应用独立重复试验概率公式应满足怎样的条件?例3乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.(1)求甲以4比1获胜的概率;(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率;(3)求比赛局数的分布列.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解:(1)由已知,得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12.记“甲以4比1获胜”为事件A,则P(A)=C43123·124-3·12=18.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B.乙以4比2获胜的概率为P1=C53123125-3·12=532,乙以4比3获胜的概率为P2=C63123126-3·12=532,所以P(B)=P1+P2=516.专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(3)设比赛的局数为X,则X的可能取值为4,5,6,7.P(X=4)=2C44124=18;P(X=5)=2C43123·124-3·12=14;P(X=6)=2C53123125-3·12=516;P(X=7)=2C63123126-3·12=516.比赛局数的分布列为X4567P1814516516专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概率模型是否满足公式P(X=k)=C𝑛𝑘pk(1-p)n-k的三个条件:(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p;(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-对点训练3从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题七7.3随机变量及其分布考情分析高频考点核心归纳高频考点(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数𝑥和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数𝑥,σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布,求P(187.8Z≤212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数.利用①的结果,求E(X).附:150≈12.2.若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σZ≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σZ≤μ+2σ)=0.9544.-17-答案答案关闭解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数𝑥和样本方差s2分别为𝑥=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.2