高考数学-云师堂6.3

6.3直线与圆锥曲线专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳考情分析-2-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理7)(2011全国,理20)(2012全国,理20)(2013全国Ⅰ,理10)(2013全国Ⅱ,理20)(2014全国Ⅰ,理20)(2014全国Ⅱ,理10)(2015全国Ⅰ,理20)(2015全国Ⅱ,理20)选择题解答题直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点,常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.直线与圆锥曲线相交,求其弦长、中点、定点、定值、最值、面积、对称、参数范围、存在性问题等是高考的热点,常用到一元二次方程根与系数的关系.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是直线与圆锥曲线的位置关系、定点问题、定值问题、最值问题、范围问题、探索性问题.专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四直线与圆锥曲线的位置关系【思考】怎样用代数的方法判断直线与圆锥曲线的位置关系?例1已知直线l:kx-y+2=0,双曲线C:x2-4y2=4,当k为何值时:(1)l与C无公共点;(2)l与C有唯一公共点;(3)l与C有两个不同的公共点.答案答案关闭将直线与双曲线方程联立消去y,得(1-4k2)x2-16kx-20=0.①当1-4k2≠0时,有Δ=(-16k)2-4(1-4k2)·(-20)=16(5-4k2).(1)当1-4k2≠0,且Δ0,即k-52或k52时,l与C无公共点.(2)当1-4k2=0,即k=±12时,显然方程①只有一解.当1-4k2≠0,且Δ=0,即k=±52时,方程①只有一解.故当k=±12或k=±52时,l与C有唯一公共点.(3)当1-4k2≠0,且Δ0,即-52k52,且k≠±12时,方程有两解,l与C有两个公共点.专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-题后反思设直线l:Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝐶=0,𝑓(𝑥,𝑦)=0,消去y得ax2+bx+c=0(也可消去x).若a≠0,Δ=b2-4ac,Δ0⇔相交;Δ0⇔相离;Δ=0⇔相切.若a=0,得到一个一次方程:(1)C为双曲线,则l与双曲线的渐近线平行;(2)C为抛物线,则l与抛物线的对称轴平行.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-对点训练1已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值.答案答案关闭联立方程𝑦=(𝑎+1)𝑥-1,𝑦2=𝑎𝑥,(1)当a=0时,此方程组恰有一组解𝑥=1,𝑦=0.(2)当a≠0时,消去x,得𝑎+1𝑎y2-y-1=0.①若𝑎+1𝑎=0,即a=-1,方程变为一元一次方程-y-1=0,方程恰有一组解𝑥=-1,𝑦=-1.②若𝑎+1𝑎≠0,即a≠-1,令Δ=0,得1+4(𝑎+1)𝑎=0,解得a=-45,此时直线与曲线相切,有且只有一个公共点.综上所述,当a=0,a=-1或a=-45时,直线与曲线y2=ax恰有一个公共点.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-圆锥曲线中的定值、定点问题【思考】求解圆锥曲线中的定值、定点问题的基本思想是什么?例2(2015全国Ⅱ高考)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.答案答案关闭(1)由题意有𝑎2-𝑏2𝑎=22,4𝑎2+2𝑏2=1,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为𝑥28+𝑦24=1.(2)设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入𝑥28+𝑦24=1,得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=𝑥1+𝑥22=-2𝑘𝑏2𝑘2+1,yM=k·xM+b=𝑏2𝑘2+1.于是直线OM的斜率kOM=𝑦𝑀𝑥𝑀=-12𝑘,即kOM·k=-12.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-题后反思1.求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.2.证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-对点训练2已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左、右顶点),且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-(1)由题意设椭圆的标准方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0).∵a+c=3,a-c=1,∴a=2,c=1.又a2=b2+c2,∴b2=3,故𝑥24+𝑦23=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由𝑦=𝑘𝑥+𝑚,𝑥24+𝑦23=1,得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0.由Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,则3+4k2-m20,∴x1+x2=-8𝑚𝑘3+4𝑘2,x1·x2=4(𝑚2-3)3+4𝑘2.∴y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=3(𝑚2-4𝑘2)3+4𝑘2.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),∴𝐴𝐷·𝐵𝐷=0,即(2-x1,-y1)·(2-x2,-y2)=0,整理,得y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0.∴3(𝑚2-4𝑘2)3+4𝑘2+4(𝑚2-3)3+4𝑘2+16𝑚𝑘3+4𝑘2+4=0,整理,得7m2+16mk+4k2=0,解得m1=-2k,m2=-2𝑘7,且满足3+4k2-m20.当m=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾;当m=-2𝑘7时,l的方程为y=k𝑥-27,直线过定点27,0.综上可知,直线l过定点,且定点坐标为27,0.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-圆锥曲线中的参数范围与最值问题【思考】求解范围、最值问题的基本解题思想是什么?例3(2015天津高考)已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(ab0)的左焦点为F(-c,0),离心率为33,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆x2+y2=𝑏24截得的线段的长为c,|FM|=433.(1)求直线FM的斜率;(2)求椭圆的方程;(3)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于2,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-12-(1)由已知有𝑐2𝑎2=13,又由a2=b2+c2,可得a2=3c2,b2=2c2.设直线FM的斜率为k(k0),则直线FM的方程为y=k(x+c).由已知,有𝑘𝑐𝑘2+12+𝑐22=𝑏22,解得k=33.(2)由(1)得椭圆方程为𝑥23𝑐2+𝑦22𝑐2=1,直线FM的方程为y=33(x+c),两个方程联立,消去y,整理得3x2+2cx-5c2=0,解得x=-53c或x=c.因为点M在第一象限,可得M的坐标为𝑐,233𝑐.由|FM|=(𝑐+𝑐)2+233𝑐-02=433,解得c=1,所以椭圆的方程为𝑥23+𝑦22=1.(3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的斜率为t,得t=𝑦𝑥+1,即y=t(x+1)(x≠-1),与椭圆方程联立𝑦=𝑡(𝑥+1),𝑥23+𝑦22=1,消去y,整理得2x2+3t2(x+1)2=6.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-13-又由已知,得t=6-2𝑥23(𝑥+1)22,解得-32x-1或-1x0.设直线OP的斜率为m,得m=𝑦𝑥,即y=mx(x≠0),与椭圆方程联立,整理可得m2=2𝑥2−23.①当x∈-32,-1时,有y=t(x+1)0,因此m0,于是m=2𝑥2-23,得m∈23,233.②当x∈(-1,0)时,有y=t(x+1)0,因此m0,于是m=-2𝑥2-23,得m∈-∞,-233.综上,直线OP的斜率的取值范围是-∞,-233∪23,233.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-14-题后反思求解范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-15-对点训练3已知点E(m,0)为抛物线y2=4x内的一个定点,过E作斜率分别为k1,k2的两条直线交抛物线于点A,B,C,D,且M,N分别是线段AB,CD的中点.(1)若m=1,k1k2=-1,求三角形EMN面积的最小值;(2)若k1+k2=1,求证:直线MN过定点.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-16-(1)当m=1时,E为抛物线y2=4x的焦点,∵k1k2=-1,∴AB⊥CD.设直线AB的方程为y=k1(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),由𝑦=𝑘1(𝑥-1),𝑦2=4𝑥,整理,得k1y2-4y-4k1=0,则y1+y2=4𝑘1,y1y2=-4.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核心归纳高频考点-17-∵线段AB的中点M𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦22,∴M2𝑘12+1,2𝑘1,同理,点N(2𝑘12+1,-2k1).∴S△EMN=12|EM|·|EN|=122𝑘122+2𝑘12·(2𝑘12)2+(-2𝑘1)2=2𝑘12+1𝑘12+2≥22+2=4,当且仅当𝑘12=1𝑘12,即k1=±1时,△EMN的面积取最小值4.(2)证明:设直线AB的方程为y=k1(x-m),A(x1,y1),B(x2,y2).由𝑦=𝑘1(𝑥-𝑚),𝑦2=4𝑥,整理,得k1y2-4y-4k1m=0,y1+y2=4𝑘1,y1y2=-4m.命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四专题六6.3直线与圆锥曲线考情分析高频考点核