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专题五立体几何5.1空间几何体专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳考情分析-3-试题统计题型命题规律复习策略(2011全国,理6)(2011全国,理15)(2012全国,理7)(2012全国,理11)(2013全国Ⅰ,理6)(2013全国Ⅰ,理8)(2013全国Ⅱ,理7)(2014全国Ⅰ,理12)(2014全国Ⅱ,理6)(2015全国Ⅰ,理6)(2015全国Ⅰ,理11)(2015全国Ⅱ,理6)(2015全国Ⅱ,理9)选择题填空题解答题1.空间几何体的三视图成为近几年高考的必考点,单独考查三视图的逐渐减少,主要考查由三视图求原几何体的面积、体积,主要以选择题、填空题的形式考查.2.对柱体、锥体、台体表面积、体积及球与多面体的切接问题中的有关几何体的表面积、体积的考查又是高考的一个热点,难度不大,主要以选择题、填空题的形式考查.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点有三个:一是三视图中的几何体的形状及面积、体积;二是求柱体、锥体、台体及球的表面积、体积;三是求球与多面体的切接问题中的有关几何体的表面积、体积.专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳高频考点-4-命题热点一命题热点二命题热点三三视图的识别及有关计算【思考】如何由空间几何体的三视图确定几何体的形状?例1如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.62B.6C.42D.4答案解析解析关闭如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G=(42)2+22=6.答案解析关闭B专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳高频考点-5-题后反思在由空间几何体的三视图确定几何体的形状时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,特别注意由各视图中观察者与几何体的相对位置与图中的虚实线来确定几何体的形状.再根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系,确定轮廓线的各个方向的尺寸.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳高频考点-6-对点训练1(2015贵州八校第二次联考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.16B.12C.23D.56答案解析解析关闭该几何体为正方体ABCD-A'B'C'D截去三棱锥A-A'BD,V=1-13×12×1×1×1=56,故选D.答案解析关闭D命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳高频考点-7-柱、锥、台体的表面积与体积【思考】求解几何体的表面积及体积的常用技巧有哪些?例2(2015全国Ⅰ高考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案解析解析关闭设圆锥的底面半径为R,高为h.∵米堆底部的弧长为8尺,∴14·2πR=8,∴R=16π.∵h=5,∴米堆的体积V=14×13πR2h=112×π×16π2×5.∵π≈3,∴V≈3209(立方尺).∴堆放的米约有3209×1.62≈22(斛).答案解析关闭B命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳高频考点-8-题后反思1.求几何体体积问题,可以多角度、多方位地考虑问题.在求三棱锥体积的过程中,等体积转化法是常用的方法,转换底面的原则是使其高易求,常把底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体变为规则几何体,易于求解.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳高频考点-9-对点训练2(2015山东高考)在梯形ABCD中,∠ABC=π2,AD∥BC,BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.2π3B.4π3C.5π3D.2π答案解析解析关闭由题意可得旋转体为一个圆柱挖掉一个圆锥.V圆柱=π×12×2=2π,V圆锥=13×π×12×1=π3.∴V几何体=V圆柱-V圆锥=2π-π3=5π3.答案解析关闭C命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳高频考点-10-球与多面体的切接问题【思考】求解多面体与球接、切问题的基本思路是什么?例3球O的球面上有四点S,A,B,C,其中O,A,B,C四点共面,△ABC是边长为2的正三角形,平面SAB⊥平面ABC,则三棱锥S-ABC的体积为.答案解析解析关闭记球O的半径为R,作SD⊥AB于点D,连接OD,OS,则R=23×32×2=233,SD⊥平面ABC.OD=12×233=33,SD=𝑆𝑂2-𝑂𝐷2=𝑅2-𝑂𝐷2=232-332=1.又三棱锥S-ABC的体积等于13S△ABC×SD=13×34×22×SD=33SD,因此,三棱锥S-ABC的体积为33×1=33.故填33.答案解析关闭33命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳高频考点-11-题后反思多面体与球接、切问题的求解方法:(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点(如接、切点或线)作截面,把空间问题转化为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程组求解.(2)若球面上四点P,A,B,C构成的三条线段PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体,根据4R2=a2+b2+c2求解.命题热点一命题热点二命题热点三专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳高频考点对点训练3在半径为5的球面上有不同的四点Α,Β,C,D,若AB=AC=AD=25,则平面ΒCD被球所截得图形的面积为.-12-答案解析解析关闭设A在平面BCD上的射影为H,则H为△BCD的外心.∵AB=AC=AD=25,R=5,∴由射影定理可得(25)2=AH×2R=10AH,∴AH=2,∴BH=20-4=4,∴平面BCD被球所截得图形的面积为π×42=16π.答案解析关闭16π命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3在半径为5的球面上有不同的四点Α,Β,C,D,若AB=AC=AD=25,则平面ΒCD被球所截得图形的面积为.专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳核心归纳-13-规律总结拓展演练1.三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.画三视图的基本要求:正俯一样长,俯侧一样宽,正侧一样高.2.空间几何体的面积有侧面积和表面积之分,表面积就是全面积,是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积,在计算时要注意区分“是侧面积还是表面积”.多面体的表面积就是其所有面的面积之和,旋转体的表面积除了球之外,都是其侧面积和底面面积之和.3.几何体的切接问题:(1)解决球的内接长方体、正方体、正四棱柱等问题的关键是把握球的直径即棱柱的体对角线长;(2)柱、锥的内切球找准切点位置,化归为平面几何问题.4.等体积法也称等积转化法或等积变形法,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决与锥体有关的问题,特别是三棱锥的体积.专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳核心归纳-14-规律总结拓展演练1.(2015全国Ⅱ高考)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15答案解析解析关闭解析:由题意知该正方体截去了一个三棱锥,如图所示,设正方体棱长为a,则V正方体=a3,V截去部分=16a3,故截去部分体积与剩余部分体积的比值为16a3∶56a3=1∶5.答案解析关闭D专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳核心归纳-15-规律总结拓展演练2.如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727B.59C.1027D.13答案解析解析关闭由零件的三视图可知,该几何体为两个圆柱组合而成,如图.切削掉部分的体积V1=π×32×6-π×22×4-π×32×2=20π(cm3),原来毛坯体积V2=π×32×6=54π(cm3).故所求比值为𝑉1𝑉2=20π54π=1027.答案解析关闭C专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳核心归纳-16-规律总结拓展演练3.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=.答案解析解析关闭解析:设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h,底面三角形ABC的面积为S,则V1=13×14S·12h=124Sh=124V2,即V1∶V2=1∶24.答案解析关闭1∶24专题五5.1空间几何体考情分析高频考点核心归纳核心归纳-17-规律总结拓展演练4.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为.答案解析解析关闭如图,设球O的半径为R,则AH=2𝑅3,OH=𝑅3.∵π·EH2=π,∴EH=1.∵在Rt△OEH中,R2=𝑅32+12,∴R2=98.∴S球=4πR2=9π2.答案解析关闭9π2