高考专题突破三

第六章数列高考专题突破三高考中的数列问题内容索引考点自测快速解答自查自纠题型分类对接高考深度剖析练出高分考点自测1.设等差数列{an}和等比数列{bn}首项都是1，公差与公比都是2，则等于()A.54B.56C.58D.57解析由题意得，an＝1＋2(n－1)＝2n－1，bn＝1×2n－1＝2n－1，∴＋…＋＝a1＋a2＋a4＋a8＋a16＝1＋3＋7＋15＋31＝57.D1ba2345bbbbaaaa1ba5ba考点自测1解析答案123452.已知等比数列的各项都为正数，且当n≥3时，a4a2n－4＝102n，则数列lga1,2lga2,22lga3,23lga4，…，2n－1lgan，…的前n项和Sn等于()A.n·2nB.(n－1)·2n－1－1C.(n－1)·2n＋1D.2n＋1解析答案123453.数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则1a1＋1a2＋…＋1a2013等于()A.20122013B.40262014C.40242014D.20132014解析答案123454.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列1anan＋1的前100项和为()A.100101B.99101C.99100D.101100解析答案123455.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝23an－13，若1Sk9(k∈N*)，则k的值为________.解析当n1时，Sn－1＝23an－1－13，∴an＝23an－23an－1，∴an＝－2an－1，又a1＝－1，∴{an}为等比数列，且an＝－(－2)n－1，∴Sk＝－2k－13，由1Sk9，得4(－2)k28，又k∈N*，∴k＝4.4解析答案12345返回题型分类例1已知首项为32的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式；题型一等差数列、等比数列的综合问题解析答案(2)设Tn＝Sn－1Sn(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.解析答案思维升华已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；解设数列{an}的公差为d，依题意知，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.当d＝0时，an＝2；当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，从而得数列{an}的通项公式an＝2或an＝4n－2.跟踪训练1解析答案(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，请说明理由.解当an＝2时，Sn＝2n.显然2n＜60n＋800，此时不存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立.当an＝4n－2时，Sn＝n[2＋4n－2]2＝2n2.令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，解得n＞40或n＜－10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn＞60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当an＝2时，不存在满足题意的正整数n；当an＝4n－2时，存在满足题意的正整数n，且n的最小值为41.解析答案例2已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝12，an＋1＝n＋12nan.(1)证明：数列{ann}是等比数列；证明因为a1＝12，an＋1＝n＋12nan，当n∈N*时，ann≠0.又a11＝12，an＋1n＋1∶ann＝12(n∈N*)为常数，所以{ann}是以12为首项，12为公比的等比数列.题型二数列的通项与求和解析答案(2)求通项an与前n项的和Sn.解由{ann}是以12为首项，12为公比的等比数列，得ann＝12·(12)n－1，所以an＝n·(12)n.∴Sn＝1·12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n·(12)n，12Sn＝1·(12)2＋2·(12)3＋…＋(n－1)(12)n＋n·(12)n＋1，∴12Sn＝12＋(12)2＋(12)3＋…＋(12)n－n·(12)n＋1＝12－12n＋11－12－n·(12)n＋1，∴Sn＝2－(12)n－1－n·(12)n＝2－(n＋2)·(12)n.综上，an＝n·(12)n，Sn＝2－(n＋2)·(12)n.解析答案思维升华在等比数列{an}(n∈N*)中，a1＞1，公比q＞0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0.(1)求{an}的通项an；跟踪训练2解析答案(2)若cn＝1nbn－6，求{cn}的前n项和Sn.解由(1)知an＝25－n，所以bn＝5－n(n∈N*)，所以cn＝1n5－n－6＝－1nn＋1，所以Sn＝－[(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n－1n＋1)]＝－(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1)＝－(1－1n＋1)＝－nn＋1(n∈N*).解析答案命题点1数列与函数的交汇例3已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n，n∈N*，数列{an}满足1an＋1＝f′1an，且a1＝4.(1)求数列{an}的通项公式；题型三数列与其他知识的交汇解析答案(2)记bn＝anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.解∵bn＝anan＋1＝42n－12n＋1＝212n－1－12n＋1，∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝21－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝21－12n＋1＝4n2n＋1.解析答案命题点2函数与不等式的交汇例4已知等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.(1)求数列{an}的通项公式；解设公差为d，由题意得：a1＋d＝6，2a1＋7d＝27，解得a1＝3，d＝3，∴an＝3n.解析答案(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝Sn3·2n－1，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围.解∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝32n(n＋1)，∴Tn＝nn＋12n，∴Tn＋1－Tn＝n＋1n＋22n＋1－nn＋12n＝n＋12－n2n＋1，∴当n≥3时，TnTn＋1，且T1＝1T2＝T3＝32，∴Tn的最大值是32，故m≥32.解析答案命题点3数列应用题例5某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元，该企业2010年年底分红后的资金为1000万元.(1)求该企业2014年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32500万元.解析答案思维升华设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；解由已知，得有解得d＝a8－a7＝2.所以Sn＝na1＋nn－12d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.787872,24,aabbb87722422.aaa跟踪训练3解析答案(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－1ln2，求数列anbn的前n项和Tn.解析答案返回练出高分123451.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝8，Sn＋1＋4Sn－1＝5Sn(n≥2)，Tn是数列{log2an}的前n项和.(1)求数列{an}的通项公式；解析答案解∵当n≥2时，Sn＋1＋4Sn－1＝5Sn，∴Sn＋1－Sn＝4(Sn－Sn－1)，∴an＋1＝4an，∵a1＝2，a2＝8，∴a2＝4a1，∴数列{an}是以a1＝2为首项，4为公比的等比数列.∴an＝2·4n－1＝22n－1.12345解析答案(2)求Tn.解由(1)得log2an＝log222n－1＝2n－1，∴Tn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋3＋…＋(2n－1)＝n1＋2n－12＝n2.123452.(2015·课标全国Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和.已知an0，a2n＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；解由a2n＋2an＝4Sn＋3，可知a2n＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.可得a2n＋1－a2n＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a2n＋1－a2n＝(an＋1＋an)(an＋1－an).由于an0，可得an＋1－an＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.解析答案12345(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和.解由an＝2n＋1可知bn＝1anan＋1＝12n＋12n＋3＝1212n＋1－12n＋3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1213－15＋15－17＋…＋12n＋1－12n＋3＝n32n＋3.解析答案123453.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*).(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；解在Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)中分别令n＝1,2,3得：a1＝2a1－1，a1＋a2＝2a2＋1，a1＋a2＋a3＝2a3－1，解得a1＝1，a2＝0，a3＝2.解析答案12345(2)求证：数列{an＋23(－1)n}为等比数列，并求出{an}的通项公式.解析答案12345解析答案4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，它们满足S4＝2S2＋8，b2＝19，T2＝49，且当n＝4或5时，Sn取得最小值.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；12345解析答案(2)令cn＝(Sn－λ)(12－Tn)，n∈N*，如果{cn}是单调数列，求实数λ的取值范围.解由(1)得Sn＝n2－9n，Tn＝12－12·3n，cn＝n2－9n－λ2·3n，当{cn}为递增数列时，cncn＋1，即λn2－10n＋4恒成立，∴λ∈∅，当{cn}为递减数列时，cncn＋1，即λn2－10n＋4恒成立，∴λ－21，综上，实数λ的取值范围为(－∞，－21).123455.已知函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝12.(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；解令x＝n，y＝1，得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝12f(n)，∴{f(n)}是首项为12，公比为12的等比数列，∴f(n)＝12n.解析答案12345(2)设an＝n·f(n)，n∈N*，求证：a1＋a2＋a3＋…＋an＜2；解析答案12345(3)设bn＝(9－n)fn＋1fn，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值.解∵f(n)＝12n，∴bn＝(9－n)fn＋1fn＝(9－n)12n＋112n＝9－n2，∴当n≤8时，bn＞0；当n＝9时，bn＝0；当n＞9时，bn＜0.∴当n＝8或9时，Sn取得最大值.解析答案返回