酷学网-2015高考数学考前压轴班之函数(一)

导数基础2015高考导航考纲解读1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．2．导数的运算(1)能根据导数定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．2015高考导航考纲解读(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(3)掌握常见基本初等函数的导数公式和常用的导数运算公式．2015高考导航考纲解读3．导数在研究函数中的应用(1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次)．(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充2015高考导航考纲解读分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次)．4．生活中的优化问题会利用导数解决某些实际问题.5.定积分与微积分基本定理(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．(2)了解微积分基本定理的含义．1.高考对导数的考查形式多样，难易均有，可以在选择题和填空题中出现，主要以导数的运算、导数的几何意义、导数的应用为主(研究单调性、极值和最值等)；也更容易在解答题中出现，一般作为压轴题，主要考查导数的综合应用，往往与函数、方程、不等式、数列、解析几何等联系在一起，分值为12～17分．2015高考导航命题探究2．微积分是新课标新增内容，故高考对微积分的考查会注重基础，重在考查基本概念和方法，所以一般以选择题和填空题的形式出现，考查内容以定积分的计算和面积的计算为主．2015高考导航命题探究3．预计2015年高考试题在本部分应是一个小题和一个大题，小题主要考查导数的概念、几何意义、导数的运算，大题主要以函数为背景，以导数为工具，考查运用导数研究函数的单调性、极值或最值问题，在函数、不等式、解析几何等知识网络交汇点命题.2015高考导航命题探究基础知识梳理1．导数的概念(1)f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是＝limΔx→0ΔyΔx，称其为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝.limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δxy′|x＝x0limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的，过点P的切线方程为：．基础知识梳理(2)导函数当x变化时，f′(x)称为f(x)的导函数，则f′(x)＝＝.y′limΔx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)曲线在点P处的切线和曲线过点P的切线有何不同？【思考·提示】前者P为切点；后者点P可以是切点也可以不是．一般曲线的切线与曲线可以有一个或一个以上的公共点．基础知识梳理3．几种常见函数的导数(1)C′＝(C为常数)；(2)(xn)′＝(n∈Q*)；(3)(sinx)′＝；(4)(cosx)′＝；(5)(ex)′＝；(6)(ax)′＝；基础知识梳理0nxn－1cosx－sinxexaxlna(a0且a≠1)(7)(lnx)′＝；(8)(logax)′＝(a0且a≠1)．1x1xlna基础知识梳理4．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)[f(x)g(x)]′＝．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)5．复合函数的导数设函数u＝φ(x)在点x处有导数u′＝φ′(x)，函数y＝f(u)在点x的对应点u处有导数y′＝f′(u)，则复合函数y＝f(φ(x))在点x处也有导数，且y′x＝或写作f′x(φ(x))＝．基础知识梳理y′u·u′xf′(u)·φ′(x)1．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于()三基能力强力A.193B.103C.163D.133答案：B2．已知直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b切于点(1,3)，则b的值为()A．3B．－3C．5D．－5三基能力强力答案：A3．函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx三基能力强力答案：B4．已知f(x)＝13－8x＋x2，且f′(x0)＝2.则x0＝________.三基能力强力答案：5225．已知点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，过点P的切线垂直于直线x＋2y＋3＝0，则点P的坐标为________．三基能力强力答案：(－2,15)，(2，－9)根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：课堂互动讲练考点一利用导数的定义求函数的导数(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx；课堂互动讲练(3)得导数f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx.简记作：一差、二比、三极限．课堂互动讲练例1【思路点拨】求Δy→求ΔyΔx→求limΔx→0ΔyΔx.利用导数的定义求函数y＝1x的导数．课堂互动讲练【解】∵Δy＝1x＋Δx－1x＝x－x＋Δxx2＋x·Δx＝－Δxx2＋x·Δx(x＋x＋Δx)，∴ΔyΔx＝－1x2＋x·Δx(x＋x＋Δx)，∴limΔx→0ΔyΔx＝－12xx＝3212x【规律总结】函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数．课堂互动讲练1．运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导数的基本步骤：(1)分析函数y＝f(x)的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果．课堂互动讲练考点二导数的运算2．对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质把真数转化为有理式或整式求解更为方便．课堂互动讲练求下列函数的导数：课堂互动讲练例2(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝lnxx2＋1.(5)y＝ln(3x－2)＋e2x－1.【思路点拨】课堂互动讲练观察所给的函数形式利用导数公式和运算法则求导化简变形【解】(1)法一：∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4.法二：y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.课堂互动讲练课堂互动讲练(4)y′＝(lnx)′(x2＋1)－lnx·(x2＋1)′(x2＋1)2＝1x(x2＋1)－2xlnx(x2＋1)2＝x2＋1－2x2lnxx(x2＋1)2.课堂互动讲练(5)y′＝[ln(3x－2)＋e2x－1]′＝[ln(3x－2)]′＋(e2x－1)′＝13x－2·(3x－2)′＋e2x－1(2x－1)′＝33x－2＋2e2x－1.【误区警示】(1)运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则；(2)特别是商的求导法则，求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因．课堂互动讲练函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．因此求函数对应曲线在某一点处的切线的斜率，只要求函数在该点处的导数即可．课堂互动讲练考点三导数的几何意义(解题示范)(本题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋x－16，(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；课堂互动讲练例3【思路点拨】首先要判断已知点是否在曲线上，再根据切线的斜率即导数值列方程解决问题．课堂互动讲练(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．【解】(1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6，∴点(2，－6)在曲线上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝3×22＋1＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)．即y＝13x－32.课堂互动讲练(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x02＋1，∴直线l的方程为：y＝(3x02＋1)(x－x0)＋x03＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x02＋1)(－x0)＋x03＋x0－16，整理得x03＝－8，∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，课堂互动讲练∴k＝3(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，课堂互动讲练则k＝y0－0x0－0＝x03＋x0－16x0.又∵k＝f′(x0)＝3x02＋1，课堂互动讲练∴x03＋x0－16x0＝3x02＋1，解得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．课堂互动讲练(3)∵切线与直线y＝－x4＋3垂直，∴斜率k＝4，∴设切点为(x0，y0)，10分则f′(x0)＝3x02＋1＝4，∴x0＝±1，∴x0＝1y0＝－14或x0＝－1y0＝－18.即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.【误区警示】解题过程中，很容易把所给的点当作曲线上的点，错误原因是没有把点代入方程进行检验．课堂互动讲练课堂互动讲练高考检阅(本题满分10分)已知函数f(x)＝ax－6x2＋b的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，求函数f(x)的解析式．解：由M(－1，f(－1))在x＋2y＋5＝0上得－1＋2f(－1)＋5＝0，即f(－1)＝－2.课堂互动讲练也即－a－61＋b＝－2.①4分f′(x)＝a(x2＋b)－2x(ax－6)(x2＋b)2，由f′(－1)＝－12得课堂互动讲练a(1＋b)＋2(－a－6)(1＋b)2＝－12.②8分由①②得a＝2，b＝3(b＝－1舍去)，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝2x－6x2＋3.10分1．曲线的切线的求法若已知曲线过点P(x0，y0)，求曲线的切线则需分点P(x0，y0)是切点和不是切点两种情况求解．(1)点P(x0，y0)是切点的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时可分以下几步完成：规律方法总结第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))．第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)．第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入方程求出x1.第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．规律方法总结2．函数在点x0处的导数，导函数、导数的区别与联系(1)函数在一点处的导数f′(x0)是一个常数，不是变量．(2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f′(x0)，根据函数的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，也就是函数f(x)的导函数f′(x)