高考数学第二章第4讲

第4讲函数的奇偶性及周期性第二章基本初等函数、导数及其应用栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有____________，那么函数f(x)是偶函数关于______对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_______________，那么函数f(x)是奇函数关于______对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个________的正数，那么这个________正数就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小最小栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1．辨明三个易误点(1)应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．(2)判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(3)判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，对于偶函数的判断以此类推．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．活用周期性三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．1．(2015·高考福建卷)下列函数为奇函数的是()A．y＝xB．y＝exC．y＝cosxD．y＝ex－e－xD栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12B解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝13.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝13.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用3．(2016·河北省五校联盟质量监测)设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2，1)时，f(x)＝4x2－2，－2≤x≤0，x，0＜x＜1，则f52＝()A．0B．1C.12D．－1D解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以f52＝f－12＋3＝f－12＝4×－122－2＝－1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用4．(必修1P39习题1.3B组T3改编)若f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，则函数f(x)在(－∞，0)上为________．5．(必修1P39习题1.3A组T6改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x＜0时，f(x)＝_______________．解析：当x＜0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．减函数x(1－x)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(2014·高考安徽卷)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝x（1－x），0≤x≤1，sinπx，1x≤2，则f294＋f416＝________．考点一函数的周期性516栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析]因为f(x)是以4为周期的奇函数，所以f294＝f8－34＝f－34，f416＝f8－76＝f－76.因为当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，所以f34＝34×1－34＝316.因为当1x≤2时，f(x)＝sinπx，所以f76＝sin7π6＝－12.又因为f(x)是奇函数，所以f－34＝－f34＝－316，f－76＝－f76＝12.所以f294＋f416＝12－316＝516.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用若本例中“奇函数”变为“偶函数”，其他条件不变，结果如何？解：因为f294＝f－34＝f34＝316，f416＝f－76＝f76＝sin7π6＝－12，所以f294＋f416＝－516.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用1.(2016·广东省阳东一中、广雅中学高三联考)已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0，2)时f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2015)＋f(2016)的值为()A．－1B．－2C．2D．1A解析：因为f(x)是奇函数，且周期为2，所以f(－2015)＋f(2016)＝－f(2015)＋f(2016)＝－f(1)＋f(0)．又当x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，所以f(－2015)＋f(2016)＝－1＋0＝－1.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝x3－1x；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝x2＋2，x＞0，0，x＝0，－x2－2，x＜0.考点二判断函数的奇偶性栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解](1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－1－x＝－x3－1x＝－f(x)，从而函数f(x)为奇函数．(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)判断函数奇偶性的常用方法及思路①定义法栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用②图象法(2)分段函数奇偶性的判断应注意：要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用2.判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝3－2x＋2x－3；(2)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(3)f(x)＝x2＋x，x＞0，x2－x，x＜0.栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用解：(1)因为函数f(x)＝3－2x＋2x－3的定义域为32，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由4－x2≥0|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0，所以f(x)的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．所以f(x)＝4－x2（x＋3）－3＝4－x2x.所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)是奇函数．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，则当x＜0时，－x＞0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性是函数的重要性质，常与函数的单调性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题．高考对函数奇偶性考查主要有以下五个命题角度：(1)求函数解析式；(2)求函数解析式中参数的值；(3)函数的奇偶性与单调性相结合；(4)函数的奇偶性与周期性相结合；(5)函数的奇偶性与对称性相结合．考点三函数奇偶性的应用(高频考点)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用(1)(2016·嘉兴一模)已知函数y＝f(x)＋x是奇函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝()A．－1B．1C．－5D．5(2)(2015·高考全国卷Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．(3)(2014·高考课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是______________．A1(－1，3)栏目导引知能训练轻松闯关名师讲坛素养提示典例剖析考点突破教材回顾夯实基础第二章基本初等函数、导数及其应用[解析](1)因为y＝f(x)＋x是奇函数，所以f(－x)－x＝－[f(x)＋x]，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故选A.(2)因为f(x)为偶函数，所以f(－x)－f(x)