第14讲-三角形与全等三角形

第14讲三角形与全等三角形第14讲┃三角形与全等三角形考点1三角形的分类及重要线段┃考点自主梳理与热身反馈┃1.三角形的下列线段中，一定能将三角形的面积分成相等的两部分的是()A．中线B．角平分线C．高D．中位线2．在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC是________三角形．A直角3．已知：三角形的各边分别为8cm，10cm和12cm，则连接各边中点所得三角形的周长是________．4．如图14－1，在△ABC中，若∠A＝80°，O为三条角平分线的交点，则∠BOC＝________．15cm第14讲┃三角形与全等三角形130°【归纳总结】1．三角形的分类：(1)按边分：三角形不等边三角形等腰三角形底边和腰不相等的三角形(2)按角分：三角形斜三角形锐角三角形直角三角形第14讲┃三角形与全等三角形等边三角形钝角三角形2．三角形的中线、高线、角平分线：如图14－2，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则有：(1)BE＝________＝12________；(2)∠BAD＝________＝12________；(3)∠AFB＝________＝90°.图14－2第14讲┃三角形与全等三角形∠BAC∠CADECBC∠AFC3．三角形的中位线：在△ABC中，D，E分别是AB和AC的中点，则有DE∥BC且DE＝________．第14讲┃三角形与全等三角形12BC1．下列各组数可能是一个三角形的边长的是()A．1，2，4B．4，5，9C．4，6，8D．5，5，112．已知三角形的两边长分别为4，8，则第三边的长度x的取值范围是_________．考点2三角形的三边关系C第14讲┃三角形与全等三角形4x12【归纳总结】三角形的三边关系：任意两边之和________第三边；任意两边之差________第三边．大于第14讲┃三角形与全等三角形小于1．如图14－3所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是()A．∠A∠1∠2B．∠2∠1∠AC．∠A∠2∠1D．∠2∠A∠12.如图14－4，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，点D，E分别在BC，AC的延长线上，则∠1＝________．考点3三角形的内角和定理及其推论B第14讲┃三角形与全等三角形80°【归纳总结】1．三角形三内角之和等于________．2．(1)三角形的一个外角________任何一个和它不相邻的内角；(2)三角形的一个外角________与它不相邻的两内角之和．大于第14讲┃三角形与全等三角形等于180°1．如图14－5，若△OAD≌△OBC，且∠O＝60°，∠C＝20°，则∠OAD＝________．2．如图14－6，△ABC≌△DEF，若AB＝7cm，BC＝8cm，AC＝6cm，BE＝5cm，则EC＝________，△DEF的周长＝________．3cm第14讲┃三角形与全等三角形考点4全等三角形的性质100°21cm【归纳总结】1．全等三角形对应边________，对应角________．2．全等三角形的对应线段(对应边上的中线，对应边上的高，对应角的平分线)________，周长相等，面积相等．相等相等第14讲┃三角形与全等三角形相等1．如图14－7，使△ABC≌△ADC成立的条件是()A．AB＝AD，∠B＝∠DB．AB＝AD，∠ACB＝∠ACDC．BC＝DC，∠BAC＝∠DACD．AB＝AD，∠BAC＝∠DAC第14讲┃三角形与全等三角形考点5全等三角形的判定D2．如图14－8，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不添加辅助线)，你增加的条件是____________________________________________．第14讲┃三角形与全等三角形BP＝DP或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D【归纳总结】1．全等三角形的判定方法有：SAS、________、________、________．2．两个直角三角形全等的判定方法除了上述四种以外，还有：________．SSSASA第14讲┃三角形与全等三角形AASHL┃考向互动探究与方法归纳┃探究一全等三角形基本模型例1如图14－9，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F.求证：△ABC≌△DEF.图14－9第14讲┃三角形与全等三角形[解析]由BE＝CF可知，BC＝EF.由AB∥DE可知，∠B＝∠DEF，所以两个三角形具备两角及其夹边相等，利用ASA可判定两个三角形全等．第14讲┃三角形与全等三角形证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF.∵BE＝CF，∴BC＝EF.∵∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF.第14讲┃三角形与全等三角形[中考点金]全等三角形常见的有平移型、对称型和旋转型，可根据图形的特点寻找条件，证明两个三角形全等.平移型对称型旋转型第14讲┃三角形与全等三角形变式题[2013·宜宾改编]如图14－10，点D，E分别在AB，AC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：△ABE≌△ACD.第14讲┃三角形与全等三角形证明：∵AB＝AC，BD＝CE，∴AC－CE＝AB－BD，即AE＝AD.又∵∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD(SAS)．第14讲┃三角形与全等三角形探究二全等三角形性质与判定的综合例2[2013·常州]如图14－11，C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE.求证：∠A＝∠B.第14讲┃三角形与全等三角形[解析]根据中点定义求出AC＝BC，然后利用“SSS”证明△ACD和△BCE全等，再根据全等三角形对应角相等证明即可．第14讲┃三角形与全等三角形证明：∵C是AB的中点，∴AC＝BC.在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SSS)，∴∠A＝∠B.第14讲┃三角形与全等三角形[中考点金]证明两条线段相等或两角相等，可转化为证明这两条线段或两角所在的三角形全等，借助全等三角形来解决问题．第14讲┃三角形与全等三角形变式题如图14－12，已知AB＝CD，∠B＝∠C，AC和BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE.(1)求证：△AOB≌△DOC；(2)求∠AEO的度数．第14讲┃三角形与全等三角形解：(1)证明：∵∠AOB＝∠DOC，∠B＝∠C，AB＝DC，∴△AOB≌△DOC.(2)由(1)知△AOB≌△DOC，∴AO＝DO.∵E是AD的中点，∴OE⊥AD，∴∠AEO＝90°.第14讲┃三角形与全等三角形探究二判定全等三角形的开放性问题例3如图14－13，∠BAC＝∠ABD.(1)要使OC＝OD，可以添加的条件为：________或__________；(写出2个符合题意的条件即可)(2)请选择(1)中你所添加的一个条件，证明OC＝OD.图14－13第14讲┃三角形与全等三角形[解析](1)因为∠BAC＝∠ABD，AB是公共边，所以再添加一个条件证明△ABC与△BAD全等即可，根据AAS可以添加∠C＝∠D，根据ASA可以添加∠ABC＝∠BAD或∠OAD＝∠OBC；也可以根据边的数量关系添加AC＝BD，分别减掉相等的线段OA，OB即可得到OC＝OD.(2)根据选择的添加的条件进行证明．第14讲┃三角形与全等三角形解：(1)答案不唯一．如∠C＝∠D或∠ABC＝∠BAD或∠OAD＝∠OBC或AC＝BD(2)答案不唯一．如选AC＝BD证明OC＝OD.证明：∵∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB.又AC＝BD，∴AC－OA＝BD－OB(或AO＋OC＝BO＋OD)，∴OC＝OD.第14讲┃三角形与全等三角形[中考点金]解这类题目的关键是找出欲证全等的两个三角形具备哪些条件，用所添加条件证明三角形全等时需根据全等三角形的判定方法．判定方法的不同，则添加的条件也不同．第14讲┃三角形与全等三角形变式题[2013·娄底]如图14－14，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是___________________________________________________________________________________．(添加一个条件即可)图14－14第14讲┃三角形与全等三角形答案不唯一，如∠C＝∠B或∠AEB＝∠ADC或∠CEB＝∠BDC或AE＝AD或CE＝BD┃考题自主训练与名师预测┃1．[2013·海南]一个三角形的三条边长分别为1，2，x，则x的取值范围是()A．1≤x≤3B．1＜x≤3C．1≤x＜3D．1＜x＜32．[2013·泉州]在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC的形状是()A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形D第14讲┃三角形与全等三角形D3．[2013·怀化]如图14－15，为测量池塘岸边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14米，则A，B间的距离是()A．18米B．24米C．28米D．30米C第14讲┃三角形与全等三角形4．[2013·安顺]如图14－16，已知AE＝CF，∠AFD＝∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是()A．∠A＝∠CB．AD＝CBC．BE＝DFD．AD∥BCB第14讲┃三角形与全等三角形5．[2013·贺州]如图14－17，在△ABC中，∠ABC＝45°，AC＝8cm，F是高AD和BE的交点，则BF的长是()A．4cmB．6cmC．8cmD．9cm6．如图14－18，点B，C，D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB＝90°，如果∠ECD＝36°，那么∠A＝________．C第14讲┃三角形与全等三角形54°7．[2013·泉州]如图14－19，∠AOB＝70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC＝QD，则∠AOQ＝________°.8．[2013·乐山]如图14－20，在四边形ABCD中，∠A＝45°.直线l与边AB，AD分别相交于点M，N，则∠1＋∠2＝________．35第14讲┃三角形与全等三角形225°9．[2013·荆州]如图14－21，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D在AB上，连接BE.请找出一对全等三角形，并说明理由．第14讲┃三角形与全等三角形解：△ACD≌△BCE，理由如下：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝∠BCE.又∵AC＝BC，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．第14讲┃三角形与全等三角形10．[2013·温州]如图14－22，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证：△ACD≌△AED；(2)若∠B＝30°，CD＝1，求BD的长．第14讲┃三角形与全等三角形解：(1)证明：∵AD平分∠CAB.∴∠CAD＝∠EAD.∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠ACD＝∠AED＝90°.又∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED.(2)∵△ACD≌△AED，∴DE＝CD＝1.∵∠B＝30°，∠DEB＝90°，∴BD＝2DE＝2.第14讲┃三角形与全等三角形1．若三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，则第三边长可以是()A．2或4B．4或6C．2或6D．4或82．如图14－23，AF＝DC，BC∥EF，只需补充一个条件____________________________________________，就得△ABC≌△DEF.B第14讲┃三角形与全等三角形BC＝EF(或∠A＝∠D或∠B＝∠E或AB∥DE等)3．已知：如图14－24，AD，BC相交于点O，OA＝OD，AB∥CD.求证：AB＝CD.图14－24第14讲┃三角形与全等三角形证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.在△AOB和△DOC中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，OA＝OD，∴△AOB≌△DOC(AAS)，∴AB＝CD.第14讲┃三角形与全等三