2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质

2．矩形的性质与判定第1课时矩形的性质1．矩形的定义：有一个角是________的平行四边形叫做矩形．2．矩形是________图形，它有________条对称轴．3．矩形的性质：矩形的四个角都是______角；矩形的对角线________．4．直角三角形斜边上的中线等于斜边的__________．直角轴对称2直相等一半1．(3分)如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，如果∠BAF＝60°，那么∠DAE等于()A．15°B．30°C．45°D．60°2．(3分)如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点且∠AED＝90°，∠BAE＝30°，AE＝4，则矩形ABCD的周长为()A．8＋23B．16＋23C．8＋43D．16＋43AD3．(7分)(2016·岳阳)如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°，∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，在△BEF和△CFD中，∠BEF＝∠CFD，BE＝CF，∠B＝∠C，∴△BEF≌△CFD(ASA)，∴BF＝CD.4．(3分)如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝4，则OD的长是()A．1B.3C．2D．235．(3分)(2016·巴中)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝________度．C156．(7分)如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：BE＝CF.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD，则BO＝CO.∵BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F，∴∠BEO＝∠CFO＝90°.又∵∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF.∴BE＝CF7．(3分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AB＝10cm，则CD的长为________cm.8．(3分)如图，BE，CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是()A．21B．18C．13D．155C9．(8分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ADC沿AC边所在的直线翻折，使点D落在点E处，得到四边形ABCE.求证：EC∥AB.证明：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，∴CD＝AD＝DB，∴∠CAD＝∠DCA.又∵△AEC是由△ADC翻折所得，∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACD，∴∠ECA＝∠CAD，∴EC∥AB一、选择题(每小题5分，共15分)10．(2016·海南)如图，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°11．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为()A．3B．4C．5D．6CD12．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AB上，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF等于()A.75B.125C.135D.145B二、填空题(每小题5分，共15分)13．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5cm，BC＝8cm，则EF的长为________．32cm14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，对角线AC与BD相交于点O，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，则图中阴影部分的面积为________．15．(2016·葫芦岛)如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为(4，3)，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为________．12(0，43)三、解答题(共30分)16．(8分)如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，交AB的延长线于点E.求证：AC＝CE.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，即BE∥CD.又∵CE∥BD，∴四边形BDCE是平行四边形，∴BD＝CE，又BD＝AC(矩形的性质)，∴AC＝CE17．(10分)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.(1)求证：四边形OCED为菱形；(2)连接AE，BE，AE与BE相等吗？请说明理由．(1)证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形DOCE是平行四边形．∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴AO＝CO＝DO＝BO，∴四边形OCED为菱形(2)解：AE＝BE.理由：∵四边形OCED为菱形，∴ED＝CE，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠ADE＝∠BCE.在△ADE和△BCE中，AD＝BC，∠ADE＝∠BCE，DE＝CE，∴△ADE≌△BCE(SAS)，∴AE＝BE18．(12分)如图所示，一根长为2a的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．(1)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；(2)在木棍的滑动过程中，当它滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值．解：(1)不变．理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB的长度不变，所以斜边上的中线OP的长度不变(2)当△AOB斜边上的高h等于斜边上的中线OP的长度，即OA＝OB时，△AOB的面积最大．理由：如图，若h与OP不相等，则总有hOP.故根据三角形的面积公式可知，AB的长度不变，只有当h与OP相等时，△AOB的面积最大．此时S△AOB＝12AB·h＝12×2a·a＝a2，所以△AOB的最大面积为a2