函数与方程思想、数形结合思想

思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华第1讲函数与方程思想、数形结合思想思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华高考定位函数与方程思想、数形结合思想都是重要的数学思想，高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题，三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等，对数形结合思想的考查，一般体现在填空题中.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华3.数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：(1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；(2)借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点一函数与方程思想的应用[微题型1]运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题【例1－1】设函数f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1，已知不等式1≤f(x)≤174对一切x∈R恒成立，求a的取值范围.解f(x)＝cos2x＋sinx＋a－1＝1－sin2x＋sinx＋a－1＝－sinx－122＋a＋14.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝12时，函数有最大值f(x)max＝a＋14，当sinx＝－1时，函数有最小值f(x)min＝a－2.因为1≤f(x)≤174对一切x∈R恒成立，所以f(x)max≤174且f(x)min≥1，即a＋14≤174，a－2≥1，解得3≤a≤4，所以a的取值范围是[3，4].思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华探究提高(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)＞0或f(x)＜0恒成立，一般可转化为f(x)min＞0或f(x)max＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华[微题型2]运用函数与方程思想解决数列问题【例1－2】已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋p·3n(n∈N*，p为常数)，a1，a2＋6，a3成等差数列.(1)求p的值及数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}满足bn＝n2an，证明：bn≤49.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(1)解由a1＝3，an＋1＝an＋p·3n，得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.因为a1，a2＋6，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得p＝2，依题意知，an＋1＝an＋2×3n.当n≥2时，a2－a1＝2×31，a3－a2＝2×32，…，an－an－1＝2×3n－1.将以上式子相加得an－a1＝2(31＋32＋…＋3n－1)，所以an－a1＝2×3×（1－3n－1）1－3＝3n－3，所以an＝3n(n≥2).又a1＝3符合上式，故an＝3n.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华(2)证明因为an＝3n，所以bn＝n23n.所以bn＋1－bn＝（n＋1）23n＋1－n23n＝－2n2＋2n＋13n＋1(n∈N*)，若－2n2＋2n＋1＜0，则n＞1＋32，即当n≥2时，有bn＋1＜bn，又因为b1＝13，b2＝49，故bn≤49.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华探究提高数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型：(1)数列中的恒成立问题，转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解.(2)数列中的最大项与最小项问题，利用函数的有关性质或不等式组an－1≤an，an≥an＋1，an－1≥an，an≤an＋1求解.(3)数列中前n项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可求解.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华[微题型3]运用函数与方程的思想解决解析几何中的问题【例1－3】设椭圆中心在坐标原点，A(2，0)，B(0，1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.(1)若ED→＝6DF→，求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解(1)依题意得椭圆的方程为x24＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0).如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝21＋4k2.①由ED→＝6DF→知x0－x1＝6(x2－x0)，得x0＝17(6x2＋x1)＝57x2＝1071＋4k2；思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华由D在AB上知x0＋2kx0＝2，得x0＝21＋2k.所以21＋2k＝1071＋4k2，化简得24k2－25k＋6＝0，解得k＝23或k＝38.(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为h1＝|x1＋2kx1－2|5＝2（1＋2k＋1＋4k2）5（1＋4k2），h2＝|x2＋2kx2－2|5＝2（1＋2k－1＋4k2）5（1＋4k2）.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华又|AB|＝22＋1＝5，所以四边形AEBF的面积为S＝12AB(h1＋h2)＝12·5·4（1＋2k）5（1＋4k2）＝2（1＋2k）1＋4k2＝21＋4k2＋4k1＋4k2≤22，当4k2＝1(k＞0)，即当k＝12时，上式取等号.所以S的最大值为22.即四边形AEBF面积的最大值为22.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华探究提高解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华热点二数形结合思想的应用[微题型1]运用数形结合思想解决函数、方程问题【例2－1】已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B＝________.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华解析H1(x)＝max{f(x)，g(x)}＝f（x），f（x）≥g（x），g（x），f（x）＜g（x）.H2(x)＝min{f(x)，g(x)}＝f（x），f（x）≤g（x），g（x），f（x）＞g（x）.由f(x)＝g(x)⇒x2－2(a＋2)x＋a2＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，解得x1＝a－2，x2＝a＋2.而函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8的图象的对称轴恰好分别为x＝a＋2，x＝a－2.可见二者图象的交点正好在它们的顶点处，如图1所示，思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华因此H1(x)，H2(x)的图象分别如图2，图3所示(图中实线部分)思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华可见，A＝H1(x)min＝f(a＋2)＝－4a－4，B＝H2(x)max＝g(a－2)＝12－4a.从而A－B＝－16.答案－16思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华探究提高(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.(2)数形结合思想在解决函数性质有关问题时常有以下几种类型：①研究函数的单调性与奇偶性：画出函数的图象，从图象的变化趋势看函数的单调性，从图象的对称看函数的奇偶性.②研究函数的对称性：画出函数的图象，可从图象的分布情况看图象的对称性.③比较函数值的大小：对于比较没有解析式的函数值大小，可结合函数的性质，画出函数的草图，结合图象比较大小.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华[微题型2]运用数形结合思想解决不等式中的问题【例2－2】若不等式9－x2≤k(x＋2)－2的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.解析如图，分别作出直线y＝k(x＋2)－2与半圆y＝9－x2.由题意，知直线在半圆的上方，由b－a＝2，可知b＝3，a＝1，所以直线y＝k(x＋2)－2过点(1，22)，则k＝2.答案2思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华探究提高不等式的解可转化为两个函数图象的一种相对位置关系，故利用数形结合将问题转化为对两个函数图象位置关系的研究，利用函数图象的几何特征，准确而又快速地求出参数的值或不等式的解集.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华[微题型3]运用数形结合思想解决解析几何中的问题【例2－3】已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.解析从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝12PA·AC＝12PA越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华此时PC＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而PA＝PC2－AC2＝22.所以(S四边形PACB)min＝2×