5.2二次型与对称矩阵的标准形(08年)

经过线性变换二次型化为例12(,)fxx12xx12yy12yy12xx12yy1111f212()yyTXXAXCY222y1122()yyyy122xx1122()xxxx0011212y0022TYYBBTCAC12()yy则ACB12,,...,()nfxxx12...(,,,)nxxxnnnnnnaaaaaaaaa.........21222211121112nxxx给定二次型设该二次型111212122212.........nnnnnnccccccccc12nyyy12nxxx12(,,...,)ngyyy11121211213113...nnbbbyyyyyyyb21222221223223...nnybbbbyyyyyy.............21212...nnnnnnnybbbyyyy化为:BTCAC则12(,,...,)nyyy111212122212.........nnnnnnbbbbbbbbb12nyyyACBXCY经过线性替换TXXATYYB且()()ArrB定义5.3定理如果存在n阶使得则称矩阵A与B合同,原二次型的矩阵合同。可逆矩阵C,设A,B是两个n阶矩阵,经过非退化线性替换,与新二次型的矩阵记为A~BABBTCAC，120...00...00...00...000...0...000...00...000...00...0rddd12(,,...,)nyyynrryyyyy12112(,,...,,...)rnyyyy222dy12(,,...,)nfyyy定义2212212...rrdyyddy的二次型只含平方项,11dy22dyrrdy00211dy2...rrdy§5.2二次型的标准形与规范形形式为不含交叉项2221122...rrdydydy的秩为r称为标准形.12,...,rddd,0TYBY120...00...00...00...000...0...000...00...000...00...0rddd12(,,...,)nyyynrryyyyy12112(,,...,,...)rnyyyy222dy12(,,...,)nfyyy定义2212212...rrdyyddy的二次型每一个标准形每一对角矩阵只含平方项,11dy22dyrrdy00211dy2...rrdy形式为不含交叉项对应一个标准形.是对角矩阵.2221122...rrdydydy的秩为r称为标准形.对应的矩阵12,...,rddd,0TYBY可写为此标准形化为定义的二次型称为实数域上令是一个标准形.222212342395xxxx212x245x223x233x22221234yyyy222211......ppryyyy二次型的规范形.形式为1y12x2y45x3y23x4y33x即1234yyyy1234xxxx2000000503000030定义的二次型称为实数域上其中正项的个数负项个数称为二次型的称为二次型的r是二次型的秩.222211......ppryyyy二次型的规范形.正惯性指标,负惯性指标.形式为称为符号差.p()rprpp其对应的矩阵为：111100r个p个1r-p个-1在复数范围内,此标准形化为形式为二次型的规范形.令以上二次型可写为的二次型复数域上222212342395xxxx212x223ix233ix245x22221234zzzz22212...rzzz112zx223zix333zix445zx本书均指实数域上的规范形.定义称为能否通过非退化线性替换如果能够,用什么方法化为标准形?一个二次型化成标准形?二次型通过非退化线性替换化成标准形对称矩阵A合同到对角矩阵B.又如何化为规范型？12,,...,()nfxxx12,,...(),nxxxnnnnnnaaaaaaaaa.........21222211121112nxxx给定二次型TXAX如果经过线性替换111212122212.........nnnnnnccccccccc12nyyy12nxxx2222211...rrddyydy化为:TYBYXCYBTCAC则12,,...(),nyyy12nyyyACB120...00...00...00...000...0...000...00...000...00...0rddd120...00...00...00...000...0...000...00...000...00...0rdddABA与对角矩阵合同.1200rddd12(,,...,)nyyynrryyyyy1212221212...rrddfyyyd实对称矩阵A存在可逆矩阵C,1200rdddTCAC经过非退化线性替换XYC二次型f化为:TCAC使得二次型12(,,...,)nfxxxTXAX(一)用配方法化二次型为标准形(二)用初等变换法化二次型为标准形(三)用正交替换法化二次型为标准形二次型通过非退化线性替换化成标准形有三种方法:例化为标准形，2221234fyyy标准形令1.用配方法化二次型为标准形23()xx123(,,)fxxx22212312132334226xxxxxxxxx21()x122xx132xx223x234x236xx21x12x223()xx223()xx223x234x236xx2123()xxx224x233x234xx2123()xxx23x22(4)x234xx23x2123()xxx2232xx233x234x123xxx213yyy232xx3x二次型化为并写出所作的非退化线性替换.将123(,,)fxxx解例将化为标准形，),,(321xxxf解2221234fyyy令123(,,)fxxx22212312132334226xxxxxxxxx2123()xxx2232xx234x123xxx213yyy232xx3x二次型化为并写出所作的非退化线性替换.3y231122yy213xxx1y所作的非退化线性替换为231322yy例123(,,)fxxx121323224xxxxxx化为标准形，并写出所作的非退化线性替换.解令12yy123xxx12yy3y二次型化为12yy12yy212yy3y412yy3y22212yy将212y222y132yy236yy212y13yy222y236yy234y232y2132yy236yy123xxx123yyy1101100001221y例123(,,)fxxx121323224xxxxxx化为标准形，并写出所作的非退化线性替换.解令12yy123xxx12yy3y二次型化为将212y13yy222y236yy234y232y123(,,)fxxx32y233yy232y222y2392y23122yy22332y2y234y2394y例123(,,)fxxx121323224xxxxxx化为标准形，并写出所作的非退化线性替换.解令二次型化为将123(,,)fxxx23122yy22332y2y234y令二次型化为212z222z234z3z123yyy1312zz2332zz123xxx12yy12yy3y123zzz1312yy2332yy3y例123(,,)fxxx121323224xxxxxx令123xxx二次型化为11011000111023012001123xxx123yyy12yy12yy3y123yyy123zzz123yyy1312zz2332zz3z123xxx123110110001yyy11232231001001zzz001所作的非退化线性替换为123xxx123zzz1232zzz123zzz3z112111122223224zzz例123(,,)fxxx121323224xxxxxx化为规范形，并写出所作的非退化线性替换.解令12yy123xxx12yy3y二次型化为将222y234y令二次型化为123zzz23122yy2232y222y13122yy332y32y332y23322yy21z22z23z212z312z332y123yyy112z312y214z12y32y234z规范形例123(,,)fxxx121323224xxxxxx令二次型化为21z22z23z212z312z332y123yyy112z312y214z234z123xxx12yy12yy3y110110001123xxx123yyy123yyy11042123zzz310421002123zzz123zzz12112121212100231042100211042所作的非退化线性替换为123xxx1231122zzz123111222zzz212z标准形唯一吗？23)2(2x标准形不唯一.是规范形.正