5-1二次型及其标准形

第五章二次型第一节二次型及其标准形•一、二次型及其标准形的概念•二、二次型的表示方法•三、二次型的矩阵及秩•四、化二次型为标准形一、二次型及其标准形的概念nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222,,,称为二次型.的二次齐次函数个变量含有定义nxxxn,,,121;,称为是复数时当faij复二次型.,称为是实数时当faij实二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykykf称为二次型的标准形（或法式）．例如312322213214542,,xxxxxxxxf都为二次型；23222132144,,xxxxxxf为二次型的标准形.323121321,,xxxxxxxxxf1．用和号表示nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222,,,对二次型,aaijji取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij则于是nnxxaxxaxaf1121122111.11xxajininjijnnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa二、二次型的表示方法2．用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111nnxxaxaxxa222222122122211nnnnnnnxaxxaxxa)()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxaxnnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),,,(.,为对称矩阵其中则二次型可记作AAxxfT,,21212222111211nnnnnnnxxxxaaaaaaaaaA记nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,,,三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．;的矩阵叫做二次型对称矩阵fA;的二次型叫做对称矩阵Af.的秩的秩叫做二次型对称矩阵fA解,a,a,a321332211,aa22112,aa03113.aa33223.330322021A.64323221232221的矩阵写出二次型xxxxxxxf例１nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,,设四、化二次型为标准形有将其代入,AxxfTAxxfTCyACyT对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．),(cCij记记作则上述可逆线性变换可Cyx.yACCyTT证明于是即有为对称矩阵,,TAAATTTACCB.,,,,1ARBRBAACCBCT且也为对称矩阵则矩阵为对称如果令任给可逆矩阵定理CACTT,BACCT,ACCBT,ARACRBR,11BCCAT又.1BRBCRAR.BRAR即为对称矩阵.B定义2对于n阶矩阵A和B，如存在n阶可逆矩阵C，使得B=CTAC，则称B合同于A，记作.BA对A进行运算CTAC，称对A进行合同变换。说明2222211nnTTykykykACyCy就是要使变成标准形经可逆变换要使二次型,2Cyxf.,),,,(212121yyykkkyyynnn.成为对角矩阵也就是要使ACCT;,,1ACCBAfCyx.T变为的矩阵由但其秩不变后二次型经可逆变换有型把此结论应用于二次即使总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩,.,,,1APPAPPPAT化为标准形使正交变换总有任给二次型定理fPyxaaxxafjiijnjijiij,,21,,2222211nnyyyf.,,,21的特征值的矩阵是其中ijnaAf1.用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAxxfT求出将二次型表成矩阵形式;,,,.221nA的所有特征值求出;,,,.321n征向量求出对应于特征值的特;,,,,,,,,,,,,.4212121nnnP记得单位化正交化将特征向量.,.52211nnyyffPyx的标准形则得作正交变换线性无关解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值144241422217A144241422217EA9182.,844141417323121232221化成标准形通过正交变换将二次型Pyxxxxxxxxxxf例2从而得特征值.18,9321得基础解系代入将,091xEA2．求特征向量得基础解系代入将,01832xEA,)0,1,2(2T.)1,0,2(3T3．将特征向量正交化,11取.)1,1,21(1T,22,,,2223233得正交向量组.)1,54,52(3T,)0,1,2(2T,)1,1,21(1T,3,2,1,iiii令得,051522,3232311.4554544523.45503245451324525231P所以4．将正交向量组单位化，得正交矩阵P于是所求正交变换为,45503245451324525231321321yyyxxx.18189232221yyyf且有解例3.222222,434232413121化为标准形把二次型求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx二次型的矩阵为,0111101111011110A它的特征多项式为.111111111111EA有四列都加到第一列上三把二计算特征多项式,,,:,1111111111111)1(EA有四行分别减去第一行三把二,,,1000212022101111)1(EA1221)1(2.)1()3()32()1(322.1,34321的特征值为于是A,0)3(,31xEA解方程时当,11111得基础解系.1111211p单位化即得,0)(,1432xEA解方程时当,1111,1100,0011232可得正交的基础解系单位化即得21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf且有化为标准型，并指出表示何种二次1,,321xxxf曲面.323121232221321662355,,xxxxxxxxxxxxf求一正交变换，将二次型思考题思考题解答,333351315A二次型的矩阵为解),9)(4()det(EA可求得,9,4,0321的特征值为于是A.111,011,211321ppp对应特征向量为将其单位化得,626161111ppq,02121222ppq.313131333ppq故正交变换为,31062312161312161321321yyyxxx.942322yyf化二次型为.1),,(321表示椭圆柱面可知xxxf2.拉格朗日配方法的具体步骤用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．1.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;ixixkkjijjiiyxyyxyyxjiknk,,,2,1且拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换0ija),(ji化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.解32312123222162252xxxxxxxxxf.,62252323121232221并求所用的变换矩阵为标准形化二次型xxxxxxxxxf例131212122xxxxx322322652xxxx的项配方含有x1含有平方项2321xxx322322652xxxx3223222xxxx去掉配方后多出来的项322322232144xxxxxxx.22322321xxxxx3332232112xyxxyxxxy令3332232112yxyyxyyyx321321100210111yyyxxx32312123222162252xxxxxxxxxf.2221yy所用变换矩阵为.01,100210111CC,33212211yxyyxyyx令解,622323121xxxxxxf代入.842232312221yyyyyyf得.,622323121并求所用的变换矩阵成标准形化二次型xxxxxxf例2由于所给二次型中无平方项，所以yyyxxx321321100011011即再配方，得.622223232231yyyyyf333223112yzyyzyyz令,233322311zyzzyzzy.622232221zzzf得