小学数学思想方法

数学基本思想分析朱艳2012.10引言数学思想：是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展的。数学思想是数学的精髓。数学方法是数学思想的具体化形式，数学思想和数学方法既有区别又有密切联系。数学思想的理论和抽象程度要高一些，而数学方法的实践性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法；而人们选择数学方法，又要以一定的数学思想为依据。因此，二者是有密切联系的。我们把二者合称为数学思想方法。在小学阶段，数学思想方法主要有符号化思想（包含抽象与演绎）化归思想（包含类比思想、归纳思想）分类思想（集合、一一对应）函数与方程思想模型思想、演绎推理思想、统计与概率思想等等。数学广泛的应用性源于它高度的抽象性，其抽象性的表现之一就是符号化。一、符号化思想符号化是数学的显著特征。数学符号是数学的语言，数学世界是一个符号化的世界，数学作为问题表示、计算推理等解决问题的工具，符号起到了非常重要的作用。有了符号，才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点，同时也促进了数学的普及和发展；国际通用的数学符号的使用，使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法，具有普遍的意义。例:数学符号“+”，中文读作“加”，英语读作“addition”：2+5作为符号世界通用，基本涵义唯一第一、从具体情境中抽象出数量关系和变化规律、从特殊到一般的探索和归纳过程。如数的抽象：1，2，3，4…，加法运算的抽象等；图形的抽象:点、线、面、圆、正方形、三角形等等；通过几组具体的两个数相加，交换加数的位置和不变，归纳出加法交换律，并用符号表示：a+b=b+a。再如在长方形上拼摆单位面积的小正方形，探索并归纳出长方形的面积公式，并用符号表示：S=ab。这是一个符号化的过程，同时也是一个模型化的过程。(一)怎样理解和把握小学阶段的符号化思想基本规律：某类具体事例抽象化一般化表示（符号）第二、理解并运用符号表示数量关系和变化规律。这是一个从一般到特殊、从理论到实践的过程。包括用关系式、表格和图像表示情境中数量间的关系。如假设一个正方形的边长是a，那么4a就表示该正方形的周长，a2表示该正方形的面积。这同样是一个符号化的过程，同时也是一个解释和应用模型的过程。1+3=4、3+7=10等等通过比较、抽象后得出：正方形有4条边，4个角；4条边相等，4个角相等且都等于900，，，，抽象归纳得出：由此得出正方形周长公式，内角和公式第三、会进行符号间的转换。数量间的关系一旦确定，便可以用数学符号表示出来，但数学符号不是唯一的，可以丰富多彩。如一辆汽车的行驶时速为定值80千米，那么该辆汽车行驶的路程和时间成正比，它们之间的数量关系既可以用表格的形式表示，也可以用公式s=80t表示，还可以用图象表示。即这些符号是可以相互转换的。时间t0123……路程s080160240……OA(1,80)B(1,160)C(1,240)s=80t(1)(2)(3)1,2两种表示,直观,容易理解,但有局限性.第3种表示具有一般性.第四、能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。这是指定完成符号化后的下一步工作，就是进行数学的运算和推理。能够进行正确的运算和推理是非常重要的数学基本功，也是非常重要的数学能力。例如求两数的和、差、积、商；列方程解运用题等等。（二）符号化思想在小学数学中的具体应用。数学的发展经历了几千年，数学符号的规范和统一也是经历了比较漫长的过程。如我们现在通用的算术中的十进制计数符号数字0~9于公元8世纪在印度产生，经过了几百年才在全世界通用，从通用至今也不过几百年。代数在早期主要是以文字为主的演算，直到16、17世纪韦达、笛卡尔和莱布尼兹等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。符号在小学数学中的应用如下表:知识点具体应用应用拓展数与代数数的表示阿拉伯数字：0~9,分数,小数百分号：%‰负号：—用数轴表示数数的运算+、—、×、÷、（）、〔〕a2(平方)、b3(立方)大括号：｛｝数的大小关系=、≈、＞、＜≤、≥、≠运算定律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：a+b+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(b+c)=ab+aca(b-c)=ab-ac方程ax+b=c数量关系时间、速度和路程的关系：S=vt数量、单价和总价：a=np正比例关系：y／x=k反比例关系：xy=k用表格表示数量间的关系用图象表示数量间的关系空间与图形用字母表示计量单位长度单位：km、m、dm、cm、mm面积单位：km2、m2、dm2、cm2、mm2、hm2(公顷)体积单位：m3、dm3、cm3容积单位：L（升）、mL（毫升）质量单位：t、kg、g用符号表示图形用字母表示点：A，B，C……三角形ABC的符号△ABC;角：∠1、∠2、∠3、∠4△ABC线段AB射线c、直线l两线段平行：AB∥CD，两线段垂直：AB⊥CD◇ABCD用字母表示公式三角形面积：S=1／2ab平行四边形面积：S=ah梯形面积：S=1／2（a+b）h圆周长：C=2πr圆面积：S=πr2长方体体积：V=abc正方体积：V=a3圆柱体积：V=sh圆锥体积：V=1／3sh统计与概率统计图与统计表用统计图表述和分析各种信息可能性用分数表示可能性的大小（三）符号化思想的教学（1）在思想上引起重视。《数学课程标准》把培养学生的符号意识作为必学的内容，并提出了具体要求，足以证明它的重要性。因此，教师在日常教学中应给予足够的重视。（2）把培养符号意识落实到课堂教学目标中。教师在每堂课的教学设计中，要明确符号的具体应用，并纳入教学目标中。创设合适的情境，引导学生在探索中归纳和理解教学符号化的模型，并进行解释和应用。一般过程就是：抽象、归纳总结，怎么样表示、怎么样读(3)引导学生认识符号的特点。数学符号是人们在研究现实世界的数量关系和空间形式的过程中产生的，它来源于生活，但并不是生活中真实的物质存在，而是一种抽象概括。例如数字“1”它可以表示现实生活中任何数量是一个的物体的个数，是一种高度的抽象概括，具有一定的抽象性。一个数学符号一旦产生并被广泛应用，它就具有明确的含义，就能进行精确地数学运算和推理证明，因而它具有精确性。（4）符号意识的培养是一个长期的过程。符号意识的培养和应用贯穿于数学学习的整个过程中，学生首先要理解和掌握数学符号的内涵和思想，并通过一定的训练，才能利用符号进行比较熟练地运算、推理和解决问题。二、化归思想1、化归思想对某些数学问题，如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时，可以将需要解决的问题不断转化形式，把它归结为能够解决或比较容易解决的问题，最终使原问题得到解决，这种思想方法称为化归（转化）思想。在学校教育中，数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程；然而，人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中，却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识，从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此，化归既是一般化的数学思想方法，具有普遍的意义；同时，化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一，具有重要的意义和作用。2、化归所遵循的原则：化归思想的实质就是在已有的简单、具体、基本的知识的基础上，把未知化为已知、把复杂化为简单、把一般化为特殊、把抽象化为具体、把非常规划为常规，从而解决各种问题。因此，应用化归思想时要遵循以下几个基本原则：（1）数学化原则：即把生活中的问题转化为数学问题，建立数学模型，从而应用数学知识找到解决问题的方法。数学来源于生活，应用于生活。学习数学的目的之一就是要利用数学知识解决生活中的各种问题。数学化的过程在某种程度上来说就是把生产生活实际中的问题进行符号化的过程、模型化的过程。（2）熟悉化原则即把陌生的问题转化为熟悉的问题。人们学习数学的过程，就是一个不断面对新知识的过程；解决疑难问题的过程，也是一个面对陌生问题的过程。从某种程度上说，这种转化过程对学生来说既是一个探索的过程，又是一个创新的过程；与《课程标准》提倡培养学生的探索能力和创新精神是一致的。因此，学会把陌生的问题转化为熟悉的问题，是一个重要的原则。（3）简单化原则即把复杂的问题转化为简单的问题。对解决问题者而言，复杂的问题未必都不会解决，但解决的过程可能比较复杂。因此，把复杂的问题转化为简单的问题，寻求一些技巧和捷径，也不失为一种上策。（4）直观化原则即把抽象的问题转化为具体的问题。苏雪的特点之一便是它具有抽象性。有些抽象的问题，直接分析解决难度较大，需要把它转化为具体的问题，或者借助直观手段，比较容易分析解决。因而，直观化是中小学生经常应用的方法，也是重要的原则之一。3、化归思想在小学数学中的具体应用。教材中的数学问题，可以简单的分为两类：一类是直接应用已有知识便可顺利解答的问题；另一种是陌生的知识或者不能直接应用已有知识解答的问题，需要综合地应用已有知识或创造性地解决问题。如知道一个长方形的长和宽，求它的面积，只要知道长方形公式的人，都可以计算出来，这是第一类问题；如果不知道平行四边形的面积公式，通过割补平移变换把平行四边形转化为长方形，推导出它的面积公式，再计算面积，这是第二类问题。对于广大中小学生来说，他们在学习数学的过程中所遇到的很多问题都可以归为第二类问题，并且要不断地把第二种问题转化为第一类问题。解决问题的过程，从某种意义上来说就是不断地转化求解的过程，因此，化归思想应用非常广泛。知识领域知识点应用举例数与代数四则运算的意义乘法的意义：若干个相同的数相加的一种简便算法除法的意义：乘法的逆运算四则运算的法则整数加减法：用实物操作和直观图帮助理解算法小数加减法：小数点对齐，然后按照整数的方法进行计算小数乘法：先按照整数乘法的方法进行计算，再点小数点小数除法：把除数转化为整数，基本按照整数的方法进行计算，需要注意被除数小数点与商的小数点对齐。分数加减法：异分母加减法转化为同分母加减法分数除法：转化为分数乘法四则运算各部间的关系a+b=cc-a=bab=ca=c÷b简便计算利用运算定律进行简便计算方程解方程：解方程的过程，实际就是不断把方程转化为未知数前边的系数是1的过程（x=a）解决问题的策略化繁为简：植树问题、鸡兔同笼问题等化抽象为直观：用线段图、图表、图像等直观表示数量之间的关系，帮助理解。化实际问题为数学问题化一般问题为特殊问题化未知问题为已知问题化归思想在小学数学中应用空间与图形三角形内角和通过操作把三个内角转化为平角多边形的内角和转化成三角形求内角和面积公式正方形的面积：转化为长方形求面积平行四边形求面积：转化成长方形求面积三角形的面积：转化为平行四边形求面积梯形的面积：转化为平行四边形求面积圆的面积：转化为长方形求面积组合图形面积：转化为求基本图形的面积体积公式正方体的体积：转化为长方体求体积圆柱的体积：转化为长方体求体积圆锥的体积：转化为圆柱求体积统计与概率统计图和统计表运用不同的统计图表述各种数据可能性运用不同的方式表示可能性的大小（1）化抽象问题为直观问题。数学的特点之一是它具有很强的抽象性，这是每个乡学好数学的人必须面对的问题。从小学到初中，再到高中，数学问题的抽象性不断加强，学生的抽象思维能力在不断接受挑战。如果能把比较抽象的问题转化为操作或直观的问题，那么不但使得问题日益解决，经过不断地抽象→直观→抽象的训练，学生的抽象思维能力也会逐步提高。下面举例说明。（三）化归思想的教学例谈?......21......21212nAB将线段AB二等分，再将余下的线段二等分，无限次重复下去，再将这样得到的每一条小线段加起来，就是线段AB的长度。将线段AB的长度看做1，则上式左边之和等于1。?21......212112n（2）化繁杂问题为简单问题。有些数学问题比较复杂，直接解答过程比较繁琐，如果在结果和数量