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1第四章儿童的数学学习过程2主要内容小学数学学习概述儿童数学认知发展的基本规律儿童数学能力的发展3§4.1小学数学学习概述4.1.1学习与小学数学学习一、什么是学习对于学习，国内外许多心理学家和学者给出过各种各样的解释，出发点不同、立场不同、材料不同、方法不同，对学习的理解就不同，从而所形成的理论也不同。4我国古代的学习观学习学习学思习行闻见（感知）时习（巩固）慎思（理解）笃行（应用）获得知识和技能形成能力和德行5行为主义的学习观行为主义认为，学习是一种行为的形成或改变，它是通过刺激—反应来实现的，即学习过程是有机体在一定条件下形成刺激与反应的联结从而获得新的经验的过程。6认知学派认为，学习不是简单地在强化条件下形成刺激与反应之间的联结，而是学习者积极主动地形成新的认知结构的过程。现代认知学派认为，学习就是理解，即通过认知获得意义，实现认知结构的重新组合。认知学派的学习观7人本主义认为学习是学习者实现自身价值的过程。学习过程中，人的因素是最重要的，学习者是学习活动的主体。因此，教育者必须关注学习者的情感、需要和价值观。人本主义的学习观8建构主义理论认为，学习是主体和客体之间的交互作用。学习者主动地去接触有关的信息，并利用学习者已有的知识和观念来解释这些信息。学习者以自己的经验和观点来构建知识，获得对客观世界理解并赋予意义。建构主义的学习观9我们一般所说的学习是从心理学的角度来阐述的，也就是说，学习是指动物和人类所共有的一种心理活动。对人类来说，学习是“知识经验的获得及行为变化的过程”。这里需要说明的是：（1）并非所有的行为变化都是学习，积累知识经验基础上的行为变化，才是学习。（2）学习的结果产生行为变化，但有的行为变化是外显的，有的行为变化是内隐的。例如，技能学习，所导致的行为变化就是外显的，就称为“外显学习”，思想意识的学习大多是内隐的，叫做“内隐学习”。（3）学习是一个渐进的过程。（4）行为的变化有时表现为行为的矫正或调整。（5）学习后的行为变化不仅包括体现在实际操作上的行为变化，而且还包括体现在态度、情绪、智力上的行为变化。10二、小学数学学习及其特点小学数学学习是学生在小学阶段对数学学科的学习，是学生在教师指导下，由于获得数学知识经验而引起的比较持久的行为变化过程。它是一个有目的、有计划、有组织、有步骤的获得数学知识、掌握数学技能、形成数学问题解决能力、发展个性品质的过程。11儿童数学学习的基本特点儿童数学学习的起点是他们的生活常识和经验；儿童的数学思维具有明显的直观化特征；儿童的数学学习过程是一个数学活动的过程；儿童的数学学习是一个“再发现”与“再创造”的过程。124.1.2小学数学学习的分类一、按学习的深度划分，可以分为机械学习与有意义的学习机械学习是指学生对所学的知识并未真正理解，而只是仅仅记住相关数学符号、了解相应词句及简单性地模仿。有意义的学习则要求学生能理解新知识及其实际内容，要对符号所代表的意义与头脑中已有的旧知识建立非人为（非任意）的实质性（非字面）的联系，并能融会贯通。13二、按学习的方式划分，可以分为接受学习与发现学习。接受学习是指学习的全部内容以定论的形式呈现给学习者的一种学习方式发现学习是指不将学习主要内容直接呈现给学生，而是向学生提供一定的背景材料，由学习者独立操作而习得知识的一种学习方式。14两种划分的关系有意义学习有意义接受学习有意义发现学习接受学习发现学习机械接受学习机械发现学习机械学习15三、按学习的内容划分，可以分为数学知识学习、数学技能学习和数学问题解决学习数学知识学习是指以理解、掌握数学基础知识为主的一种学习活动。数学技能学习是指将一连串动作经练习而形成熟练的自动化的反应过程。数学问题解决学习是指以关心问题解决过程为主、反思问题解决思考过程的一种学习。16数学知识的学习过程：感知阶段--操作、观察、实验、猜测等。领会阶段--分析比较、抽象概括、归纳、类比、推理等。习得阶段--梳理提炼、辨析、尝试运用等。巩固阶段--交流分享、自主作业、反思评价等。17教学实例：纯循环小数概念的学习师：（出示下面各题：1÷3，6÷11，2÷9，5÷7）请小朋友们用竖式计算，（学生试做，几分钟后，教师请学生回答计算的结果）。生1：1÷3=0.333…,6÷11=0.545454…,2÷9=0.22222…，5÷7=0.714285714285…。师：你们还有不同的计算结果吗？（学生纷纷摇头）师：通过观察这些结果，你们还能发现什么？生2：这些除法都除不尽，商是无限小数，因为余数总是会重复出现。18生3：发现商很有规律。师：什么规律？生4：有的商，只有一个数字，而这个数字始终重复出现；有的商，有几个不同的数字，这几个不同的数字也始终重复出现。师：是呀？这些商，都有一个共同的规律，那就是小数部分的第一位起，有一个数字或几个数字依次不断地重复出现。这种类型的小数，我们称之为什么小数呢？对！纯循环小数。你还能举出其它纯循环小数的例子吗？生5：0.4444…,0.154154154…,0.212121…，0.270270270…。19教学实例：乘法分配律的学习师板书：（10＋5）×410×4＋5×4请同学们观察这两道算式，谁能用语言把这两个算式说一说？生：第一个是10与5的和乘4，第二个是10与5分别乘4后再相加。师：是的。如果我们把10与5看成两个数，4看成第三个数，又该怎样叙述这两个算式呢？生：第一个是“两数的和乘第三个数”，第二个是“这两个数分别乘第三个数后再相加。”20师：回答得很好，谁又能根据这个规律再写几组算式呢？生：（18＋7）×818×8＋7×8（生答师板书）生：（6＋9）×76×7＋9×7（生答师板书）师：好！请大家计算这六道题，看谁算得又快又准。（2分钟后，教师一边要学生回答结果，一边将结果板书。）现在，你们发现了什么？生：我们发现每一组题中两个题的计算结果相等。师：是的，也就是说，每一组题的两个算式都可用一个什么符号连接？21生：都可用“等号”连接。（学生边说，教师边用等号连接两个算式，并用红虚线把计算的结果省去。）师：你能看出这三个等式都有一个什么样的共同点吗？生：都是两个数的和乘第三个数，等于这两个数分别乘第三个数后再相加。师：概括得很好！哎？是不是“任何两个数的和乘第三个数，都会等于这两个数分别乘第三个数后再相加”呢？老师随便写一个——（8＋3）×4与8×4＋3×4，相等吗？为什么？生：相等。因为算出来都是44。22师：对。实际上，这是一条客观规律，叫做乘法分配律。（板书课题，并将事先写好的分配律贴在黑板上。）其实，它们之间相等的关系不通过计算也能得到，也就是说可以从一个化到另一个，请大家想想看，如何把（8＋3）×4化成8×4＋3×4？（师边说边在“8＋3”下面划一横线，以示视“8＋3”为一个数。）生：（8＋3）×4＝（8＋3）＋（8＋3）＋（8＋3）＋（8＋3）＝（8＋8＋8＋8）＋（3＋3＋3＋3）＝8×4＋3×4。师：不错，这里用乘法意义说明它们相等的方法具有一般性，以上各组算式相等的关系都可用这种方法说明。23数学技能的学习过程：认知阶段联结阶段自动化阶段24例如，小数乘法的学习。首先是认知阶段，即小学生了解小数乘法运算法则的阶段。这一阶段学生的学习过程是：先教师提出问题，3.24×2.6=？,再引导学生回忆324×26是怎样进行的？25最后通过观察比较，并根据积的变化规律，概括出小数乘法法则：小数乘小数，先按整数乘整数的法则求出积，再看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。这一阶段，就是让学生知道、理解并记住小数乘法运算法则，为下一阶段的学习作准备。26其次是联结阶段，即学生在教师的示范和指导下进行模仿练习并内化的阶段。这一阶段教师选择几个范例，边讲边做，同时在言语的解说下呈现数学运算技能的活动过程，学生模仿，尝试练习。学生在大量的小数乘法的练习中，从一边念念有词地说着法则、一边按法则进行一步步的计算，过渡到运算熟练的程度。27最后是自动化阶段。这一阶段，学生遇到小数乘法，则不自觉地运用法则进行计算，运算过程的进行和运算法则的应用完全达到自动化了。此时，学生已掌握了小数乘法运算的心智技能，对于技能所涉及的数学活动已达到了熟练的程度，这时，刺激和反应几乎是同时进行，中间不用有意识的思考。284.1.3小学数学学习的一般过程按认知学派的观点，小学数学学习过程是一个数学认知过程。即新的学习内容与学生原有数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。这个过程包括三个阶段：输入阶段、新旧知识相互作用阶段和操作阶段。29所谓数学认知结构，就是学生头脑里的数学知识按照自己的理解深度、广度，结合着自己的知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。学生的数学认知结构主要是通过同化和顺应两种方式去构建的，同化和顺应是学生数学认知的基本方式。30同化是指学生利用原有数学认知结构对新的数学知识进行适当改造，然后将改造后的数学知识直接纳入认知结构，扩大原有认知结构，使数学认知结构发生量变的过程。同化学习的必要条件是所学习的新知识与原有认知结构中的适当观念有实质的、非人为联系，即原有认知结构中有能够同化新知识的适当观念。同化主要适用于那些与旧知识有密切联系的新知识的学习。31例如，异分母分数加减法的学习过程，就是一个利用分数基本性质通过通分把异分母分数加减法转化成同分母分数加减法并将其纳入到原来已经形成的同分母分数加减法认知结构中去，从而扩大和完善分数加减法认知结构的过程。32再如，学生原有认知结构中已有了乘数是一位数、两位数的乘法运算知识，再学习乘数是三位数的乘法时，学生就可以根据“用乘数哪一位上的数去乘被乘数，所得积的末位就与哪一位对齐”这一联系点，将新知识同化于原有的数学认知结构中，从而扩大了乘法的认知结构。33又如，“直角三角形（有一个角是直角的三角形叫做直角三角形）”概念的学习，学生必须把新概念（直角三角形）与自己原有认知结构中的一些概念（三角形、角、直角）相联系，并把新概念（直角三角形）与原有概念（三角形是由三条线段首尾相接所围成的图形）进行比较分化，突出新概念“有一个角是直角”这一本质属性，然后把“直角三角形”同化于“三角形”的概念体系之中，从而扩大并完善三角形的认知结构。34顺应是指某些新的数学知识不能直接同化到学生原有认知结构中去，必须适当调整或改造原有认知结构使其适应新知识的学习，在此基础上将新知识纳入改造后的认知结构中去，从而建立新的数学认知结构的过程。顺应主要适用于那些与旧知识没有直接联系的新知识的学习。心理学研究表明，学生在学习过程中，运用顺应方式改组原有认知结构接纳新知识主要是通过以下两种途径实现的：一是调整，二是并列。35所谓调整，就是改变原有认知结构的组织形式，或赋予原有认知结构中某些观念以新的意义，使之与新知识相适应，并以此为固定点接纳新知识。例如，小学生开始学习分数时，由于分数与原有的整数认知结构不一致，所以，就不能简单地依靠同化方式在原有的整数认知结构基础上学习分数，而要对整数认知结构进行改造，通过分数初步认识的学习，逐步顺应分数的学习。36所谓并列，就是赋予新知识和原有认知结构中某些观念以一定意义的外在联系，并把新知识与旧知识联接成一定的结构。例如，小学生在学习分数乘整数后，再学习分数乘分数时，就可将新知识与旧知识（分数乘整数的意义）相联系，再通过具体实例（如一袋面粉30千克，4袋面粉多少千克？1/2袋面粉多少千克？3/5袋面粉多少千克？）赋予一个数乘分数的意义——就是求这个数的几分之几。由此通过一个数乘分数的意义与整数乘法的意义相并列，实现学生原有认知结构的改组和分数乘法意义的新认知结构的建立。37§4.2儿童数学认知发展的基本规律皮亚杰的发生认识论感知运动阶段（0—2岁）主要是动作、活动并有协调感觉、知觉和动作的活动，属于