利用Matlab求解高等数学(一)

用Matlab求解高等数学中的问题（一）南昌理工学院公共教学部建模组1、求函数的极限2、求函数的导数3、作函数的图像4、求函数的零点5、求函数的极值点一、简单实例例1、计算：11111111.2345678输入：S=1-1/2-1/3-1/4-1/5-1/6…-1/7-1/8注意：续行符号“…”例2、计算：11111.2345输入：S=1-1/2-1/3-1/4-1/5注意：调用上条指令二、函数介绍1、求极限的函数是LIMIT，其调用格式如下：LIMIT(F，x，a)LIMIT(F，x)LIMIT(F)LIMIT(F，x，a,’right’)orLIMIT(F，x，a,’left’)说明：（1）LIMIT(F，x，a)求函数F当xa时的极限（2）LIMIT(F，x)求F中的自变量趋于a时的极限（3）LIMIT(F)求F中的自变量趋于0时的极限（4）LIMIT(F，x，a,’right’)orLIMIT(F，x，a,’left’)求F当xa时的右极限或右极限例3、计算：30sin11(1)lim;(2)lim(1);(3)lim;(4)lim.2sinxxaxaxxaxtxxxxsymsxt;limit(sin(x)/(-2*x),x,0)ans=-1/2y=‘（1+t/x）^（3*x）’;%将符号表达式赋给另一个变量时，要用单引号limit(y,x,inf)%inf表示“趋向于正无穷”ans=exp(3*t)%syms是符号变量的说明函数进行符号运算时，需要对符号变量进行说明limit(1/x,x,0,‘right’)例3、计算：30sin11(1)lim;(2)lim(1);(3)lim;(4)lim.2sinxxaxaxxaxtxxxxans=inflimit(1/sin(x))ans=NaN%NaN表示“不存在”例4、求下列极限311011121(1)lim();(2)lim;(3)lim.113xxxxxexxxxsymsxlimit(1/(x+1)-1/(x^3+1),x,-1)ans=NaNlimit((sqrt(x+1)-2)/(x-3),x,1)ans=-1/2*2^(1/2)+1limit((exp(x)-1)/x,x,0)ans=1求函数的导数一、函数的介绍求导数函数是diff，其调用格式如下：diff(y)diff(y,‘x’)diff(y，N)diff(z,‘x’，N)说明：（1）diff(y)求函数y的导数（2）diff(y,‘x’)对函数y关于自变量x求导数（3）diff(y,N)求函数y的N阶导数（4）diff(z,‘x’，N)求函数z关于x的N阶偏导数，用它来求隐函数的导数例1、已知2lnxyx求y的一阶导数，二阶导数，并计算y的二阶导数在x=1.5处的值。symsx,y;y=‘log(x)/x^2’;dydx=diff(y)dydx=1/x^3-2*log(x)/x^3dydx2=diff(y,2)dydx2=-5/x^4+6*log(x)/x^4zhi=subs(dydx2,‘(1.5)’)zhi=-5/(1.5)^4+6*log((1.5))/(1.5)^4eval(zhi)ans=-0.5071说明：（1）函数subs(f,old,new)可对符号表达式中的变量进行替换，即用new替换old字符串；当old=‘x’时，可省略。（2）用函数eval可将符号表达式转换成数值表达式；反之，用函数sym可将数值表达式转换成符号表达式。例如：p=1.701p=1.701sym(p)ans=1701/1000在例1中，先用dydx2=diff(y,2)求出了函数的二阶导数，将它赋给变量dydx2;然后用zhi=subs(dydx2,‘1.5’)求出了二阶导数函数在x=1.5处的值，它是一个符号表达式，将它赋给变量zhi;最后用eval(zhi)求出该符号表达式的值。sin(),1tanxxfxx'()3f例2、设求.f=‘x*sin(x)/(1-tan(x))’;dydx=diff(f)dydx=sin(x)/(1-tan(x))+x*cos(x)/(1-tan(x))-x*sin(x)/(1-tan(x))^2*(-1-tan(x)^2)zhi=subs(dydx,‘pi/3’)zhi=sin((pi/3))/(1-tan((pi/3)))+(pi/3)*cos((pi/3))/(1-tan((pi/3)))-(pi/3)*sin(pi/3))/(1-tan((pi/3)))^2*(-1-tan((pi/3))^2)eval(zhi)ans=4.8709作函数的图像一、函数简介作图函数是plot，其调用格式如下：plot(y)plot(x,y)plot(x,y,LineSpec)plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,x3,y3,s3,……)说明：（1）plot(y)绘出以向量y为纵坐标，y的个元素的下表构成的向量x为横坐标的二维曲线图，即如果y=[y1,y2,...,ym]’,则plot(y)函数绘出以点（1,y1）,(2,y2),…,(m,ym)为顶点的折线。（2）plot(x,y)绘出以向量x为横坐标，y为纵坐标的二维曲线，这时只要求两向量的长度相等，不要求他们同为行向量或列向量。（3）plot（x,y,LineSpex）绘出由字符串LineSpec指定的线型、标记和颜色的折线图。字符串LineSpec由3个字符构成，第一个定颜色，第2个定标记，第3个定线性。例如，plot(x,y,’c+:’)的含义是颜色为蓝绿色，标记为“+”，线型为点线。（4）plot(x1,y1,s1,x2,y2,s2,x3,y3,s3,……)中，s1是x1,y1对应的条件选项；s2是x2,y2对应的条件选项；s3是x3,y3对应的条件选项。例如，plot(x,y,’y-’,x,y,’go’)的含义是：绘两条重叠的曲线，现行为实线，颜色为黄色，标记为圈，颜色为绿色。例1、做出函数y=3x-x^3的图像x=-2:0.01:2;6=3*x-x.^3;plot(x,y)%观察显示结果说明：（1）x=-2:0.01:2是构造行向量的赋值命令，其一般形式是first:increment:last这样构造的行向量的元素成等差数列，first是首项，last是数列的上（下）界，increment是公差。若公差为1，则可缺省。例如：x=0:2:10x=0246810x=0:5x=012345如果需要作函数的图像，可直接运行绘图命令fplot,其调用格式如下：fplot（‘function’,limits）fplot（‘function’,limits,Linspec）fplot（‘function’,limits,tol）fplot（‘function’,limits,tol,Linespec）fplot（‘function’,limits,n）说明：（1）fplot（‘function’,limits）在limits指定的范围内绘‘function’指定的曲线图。limits为一向量，指定x轴的范围[xmin,xma]或x轴与y轴的范围[xmin,xmax,ymin,ymax]（2）fplot（‘function’,limits,Linspec）用Linespec参数指定的线型绘function的图形（3）fplot（‘function’,limits,tol）用tol指定的相对误差容限和Linespec指定的线型绘function函数指定的曲线图，其默认值为2e-3,即0.2%的精度（4）fplot（‘function’,limits,tol,Linespec）用tol指定的相对误差容限和Linespec指定的线型、标记、颜色绘函数的曲线（5）fplot（‘function’,limits,n）用至少n+1个点绘函数的曲线。n的默认值为1,最大步长值为（1/n）*(xmax-xmin).例2、在-2x2,0y1.5内绘函数2xyefplot(exp(-x^2)’,[-2,2,0,1.5])观察其显示结果例3、做函数2361(3)xyxfplot(‘1+36*x/(x+3)^2’,[-15,15,-15,15])观察其显示结果的图像的图像如果需要做隐函数或参数方程表示的函数的图像，则可调用符号函数绘图命令ezplot,其调用格式为：ezplot(f)ezplot(f，[min,max])ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax])ezplot(x,y)ezplot(x,y,[tmin,tmax])说明：（1）ezplot(f)表示在默认区间[-2pi,2pi]内绘制函数f=f(x)的图形，或在区域[-2pi,2pi;-2pi,2pi]内绘隐函数f(x,y)=0的图形，这时默认的自变量为x.（2）ezplot(f，[min,max])表示区间[min,max]绘制函数f=f(x)的图形，或在区域[min,max;min,max]内绘制隐函数f(x,y)=0的图形（3）ezplot(f,[xmin,xmax,ymin,ymax])表示在区域[xmin,xmax,ymin,ymax]内绘制隐函数f(x,y)=0的图形（4）ezplot(x,y)表示在区间0t2pi内绘制参数方程x=x(t),y=y(t)的图形，这时默认的自变量为t.（5）ezplot(x,y,[tmin,tmax])表示在区间[tmin,tmax]上绘制参数方程x=x(t),y=y(t)的图形例4、绘双曲线22194xy在区间[-16，16]上的图形ezplot(‘x^2/9-y^2/4=1’,[-16,16])观察其显示结果求函数的零点3()25fxxx2x例：求函数在f=@(x)x.^3-2*x-5z=fzero(f,2)x=0:0.1:4f=@(x)x.^3-2*x-5plot(x,f(x),’b’,z,f(z),’rp’）axis([0,4,-100,100])legend(‘f(x)’,’零点’)%输出为z=2.0946附近的零点，并画出函数的图像。2、求函数的极值点例：求函数3()25fxxxf=@(x)x.^3-2*x-5z=fminbnd(f,0,2)f=@(x)x.^3-2*x-5plot(x,f(x),’b’,z,f(z),’rp’)axis([0,2,-50,50])legend(‘f(x)’,’极小点’)%输出为x=0.8165在区间（0，2）内的极小值点。