全国百强名校-”2020-2021学年高三数学重难点训练-(92)

专题九数学思想方法精析第一讲函数与方程思想Z知识整合hishizhenghe一、函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解．二、方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论，从而使问题获解．三、函数思想与方程思想联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)0(或f(x)0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．命题方向1函数与方程思想在不等式中的应用例1(1)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋42m＋4x恒成立的实数x的取值范围为(D)A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析]因为x∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋42m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)20恒成立．设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以g10，g40，即x－2＋x－220，4x－2＋x－220，解得x－2或x2.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－1|)f(－2)，则a的取值范围是(12，32).[解析]由f()x是偶函数且f()x在()－∞，0上单调递增可知，f(x)在()0，＋∞上单调递减．又因为f()2||a－1f()－2，f()－2＝f()2，所以2||a－12，即||a－112，解得12a32.『规律总结』函数与方程思想在不等式问题中的应用要点(1)在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用函数的最值解决问题．(2)要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知范围的量为变量，而待求范围的量为参数．G跟踪训练enzongxunlian1．(2018·太原一模)定义域为R的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f(x)f′(x)，且f(0)＝1，则不等式fxex1的解集为(B)A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．(－∞，2)D．(2，＋∞)[解析]构造函数g(x)＝fxex，则g′(x)＝ex·f′x－ex·fxex2＝f′x－fxex.由题意得g′(x)0恒成立，所以函数g(x)＝fxex在R上单调递减．又因为g(0)＝f0e0＝1，所以fxex1.即g(x)1，所以x0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．2．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，12]恒成立，则a的最小值为(C)A．0B．－2C．－52D．－3[解析]因为x2＋ax＋1≥0，即a≥－x2－1x＝－(x＋1x)，令g(x)＝－(x＋1x)，当0x≤12时，g(x)＝－(x＋1x)递增，g(x)max＝g(12)＝－52，故a≥－52，即a的最小值为－52.命题方向2解决图象交点或方程根的问题例2设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝(13)x－6.若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是(34，2).[解析]由f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，因为当x∈[－2,0]时，f(x)＝(13)x－6.所以若x∈[0,2]，则－x∈[－2,0]，则f(－x)＝(13)－x－6＝3x－6，因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝3x－6＝f(x)，即f(x)＝3x－6，x∈[0,2]，由f(x)－loga(x＋2)＝0得f(x)＝loga(x＋2)，作出函数f(x)的图象如图．当a1时，要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有3个不同的交点，则满足g2f2，g6f6，即loga43，loga83，解得34a2，故a的取值范围是(34，2)．『规律总结』利用函数与方程思想解决交点及根的问题的思路(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转论为函数零点问题．(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决．G跟踪训练enzongxunlian已知函数f(x)＝12x－cosx，则方程f(x)＝π4所有根的和为(C)A．0B．π4C．π2D．3π2[解析]∵f(x)＝12x－cosx，∴f′(x)＝12＋sinx，当x∈(－π6，7π6)时，∵sinx－12，∴f′(x)＝12＋sinx0，∴f(x)＝12x－cosx在(－π6，7π6)上是增函数．∵f(π2)＝π4－cosπ2＝π4，∴在区间(－π6，7π6)上有且只有一个实数x＝π2满足f(x)＝π4.当x≤－π6时，有12x≤－π12，－cosx≤1，∴x≤－π6时，f(x)＝12x－cosx≤－π12＋1π4，由此可得：当x≤π6时，f(x)＝π4没有实数根．同理可证：x≥7π6时，f(x)＝7π6－1π4，∴方程f(x)＝π4也没有实数根．综上可知f(x)＝π4，只有实数根π2.故选C．命题方向3解决最值或参数范围问题例3直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为(D)A．3B．2C．324D．32[解析]当y＝a时，2(x＋1)＝a，所以x＝a2－1.设方程x＋lnx＝a的根为t，则t＋lnt＝a，则|AB|＝t－a2＋1＝t－t＋lnt2＋1＝t2－lnt2＋1.设g(t)＝t2－lnt2＋1(t0)，则g′(t)＝12－12t＝t－12t，令g′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0,1)时，g′(t)0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)0，所以g(t)min＝g(1)＝32，所以|AB|≥32，所以|AB|的最小值为32.『规律总结』求最值或参数范围的技巧(1)充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解．(2)充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解．(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决．(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数．G跟踪训练enzongxunlian如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0θπ)，OQ→＝OA→＋OP→，四边形OAQP的面积为S，当OA→·OP→＋S取得最大值时θ的值为(B)A．π6B．π4C．π3D．π2[解析]∵OA→＝(1,0)，OP→＝(cosθ，sinθ)，∴OA→·OP→＋S＝cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋π4)，故OA→·OP→＋S的最大值为2，此时θ＝π4.故选B．命题方向4函数与方程思想在解析几何中的应用例4椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP→＝3PB→.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围．[解析](1)设椭圆C的方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，设c0，c2＝a2－b2，由题意，知2b＝2，ca＝22，所以a＝1，b＝c＝22.故椭圆C的方程为y2＋x212＝1，即y2＋2x2＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B2(x2，y2)，由y＝kx＋m，2x2＋y2＝1，得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)0，(*)x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2，因为AP→＝3PB→，所以－x1＝3x2.所以x1＋x2＝－2x2，x1x2＝－3x22.则3(x2＋x2)2＋4x1x2＝0，即3·(－2kmk2＋2)2＋4·m2－1k2＋2＝0，整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0，当m2＝14时，上式不成立；当m2≠14时，k2＝2－2m24m2－1，由(*)式，得k22m2－2，又k≠0，所以k2＝2－2m24m2－10，解得－1m－12或12m1，即所求m的取值范围为(－1，－12)∪(12，1)．『规律总结』利用判别式法研究圆锥曲线中的范围问题的步骤第一步：联立方程．第二步：求解判别式Δ.第三步：代换．利用题设条件和圆锥曲线的几何性质，得到所求目标参数和判别式不等式中的参数的一个等量关系，将其代换．第四步：下结论．将上述等量代换式代入Δ0或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．G跟踪训练enzongxunlian若点O和点F(－2,0)分别为双曲线x2a2－y2＝1(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP→·FP→的取值范围为(B)A．[3－23，＋∞)B．[3＋23，＋∞)C．[－74，＋∞)D．[74，＋∞)[解析]由c＝2，得a2＋1＝4，∴a2＝3.∴双曲线方程为x23－y2＝1.设P(x，y)(x≥3)，OP→·FP→＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋x23－1＝43x2＋2x－1(x≥3)．令g(x)＝43x2＋2x－1(x≥3)，则g(x)在[3，＋∞)内单调递增，g(x)min＝g(3)＝3＋23.∴OP→·FP→的取值范围为[3＋23，＋∞)．