高二数学(选修-人教A版)-二项式定理(3)-教案

教案教学基本信息课题二项式定理(3)学科数学学段：高中年级高二教材书名：普通高中课程标准实验教科书·数学·选修2-3（A版）出版社：人民教育出版社出版日期：2007年1月教学目标及教学重点、难点教学目标1.通过对二项式定理的复习，正确理解和区分二项展开式中的二项式系数、展开式中项的系数、通项等概念，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题；2．通过练习掌握与二项式定理有关的习题的一般解题方法，提高分析和解决问题的能力，发展数学运算素养；3．在知识应用的过程中，体会知识之间的内在逻辑联系，感受“赋值法”，“构造法”等数学方法．教学重点：二项式定理的应用.教学难点：二项式定理及二项式系数性质的灵活应用.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习回顾问题1()nab的展开式是什么？我们是如何得到这个公式的？我们用两个计数原理分析2()ab的展开式，归纳地得到()nab的展开式，并用计数原理证明得到公式.0111()CCCC(N).nnnknkknnnnnnabaababbn练习写出1)nx（的展开式.解：01221)CCCCC.nkknnnnnnnxxxxx（练习写出()nab的展开式.本节课是学习了二项式定理及二项式系数的性质基础上的一节复习课，通过复习相关知识与方法，巩固所学内容，加深对这部分知识的理解.解：0111()()=CC()nnnnnnababaabC()C()(N).knkknnnnabbn问题2()nab的二项展开式形式上有哪些特点？通项是什么？(1)()nab的二项展开式共有1n项；(2)各项的次数都等于二项式的次数n；(3)字母a按降幂排列，次数由n递减到0；字母b按升幂排列，次数由0递增到n.通项是展开式的第1k项：1C.knkkknTab练习求62)xx（的展开式的第2项.解：62)xx（的展开式的第2项是16115411621C()=(12)12Txxxxx．问题3二项式系数是什么，有哪些性质？二项式系数是各项的系数C(0,1,2,,).knkn(1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.(2)增减性与最大值.当12nk时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当n为偶数时，中间的一项取得最大值；当n为奇数时，中间的两项12Cnn，12Cnn相等，且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和．012CCCC2.nnnnnn奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和相等.问题4二项式系数与系数相同吗？练习求6(12)x的展开式中2x的二项式系数与系数．解：6(12)x的展开式中含2x的项是：22216C(2).Tx二项式系数是26C15，系数是226C215460．结论：二项展开式中某一项的二项式系数与这一项的系数不一定相同.某一项的二项式系数是指()nab的二项展开式中项的Cknkknab中的组合数C(0,1,2,,)knkn，它只与各项的项数有关，而与,ab的值无关；某一项的系数，如本题中，2x的系数是指226C(2)x中除变量x外的常数部分226C2.例题题型一二项式定理例求2532()xx的展开式的常数项．解：2532()xx的展开式的通项是2510515532C()()C2rrrrrrrTxxx.令1050r，解得2r.所以，常数项是225C240.练习求281()2xx的展开式中7x的系数.解：281()2xx的展开式的通项是2816318811C()()C()22rrrrrrrTxxx.令1637r，解得3r.所以，7x的系数是3381C()72.练习已知二项式12(*)nxnxN的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比中2:5，求3x的系数.解：12(*)nxnxN的展开式的通项是3211C2C21.rnrnrrrrnrrnnTxxx由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比中2:5，通过例题与练习帮助学生巩固所学习的内容：求二项展开式中的特定项或指定项的系数的基本步骤.可得：12C:C2:5nn,即22(1)5nnn.解得6n或0n（舍去）．令3632r，解得2r=．所以3x的系数为22626C21240．练习求5)2)((yxyx的展开式中33yx的系数.解：不考虑系数，5)2)((yxyx的展开式中含33yx的项由)(32yxx和)(23yxy合并而得.5)2(yx中含32yx的项为32351342C）（）（yxTT，其系数为40C412C353235）（.5)2(yx中含23yx的项为23251232C）（）（yxTT，其系数为088C12C252325）（.所以33yx的系数为404080.例在5()axx展开式中,含3x的项的系数为10,求实数a的值．解：5()axx的展开式的通项是552155C()CrrrrrrraTxaxx.令523r，解得1r.由含3x的项的系数为10,可得510a,解得2a.练习在7)1(ax的展开式中,3x的系数是含2x的系数与4x的系数的等差中项.如果实数1a，求a的值．解：2x的系数为227Ca，3x的系数为337Ca，4x的系数为巩固已知二项展开式某项的系数求参数的方法.447Ca，根据题意有447227337CC2Caaa，即031052aa.解得1015a.由于1a，所以a的值为1015a.题型二二项式定理的应用例若31()nxx展开式的二项式系数之和为8,求展开式中含31x项的系数.解：31()nxx展开式的二项式系数之和为28n,解得3n.331()xx展开式的通项为33941331C()()(1)CrrrrrrrTxxx.令943r，解得3r.所以含31x项的系数为333(1)C1.例求nx（1-2）的展开式中各项系数的和．解：令1x，这时nx（1-2）的值就是展开式中各项系数的和，其值为1,(1)1nnnn是奇数，，是偶数-2.（1）因此，答案为1或1．练习已知nxx)3(232的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992，求展开式中二项式系数最大的项．解：令1x得展开式的各项系数之和为nn22)31(，而展开式的二项式系数的和为nnnnnnCCCC2210，所以有992222nn．所以5n．正确区分二项式系数的和与各项的系数和利用二项式定理解决整除问因为5n，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第3项和第4项．所以62233225390)3()(xxxCT，32232232354270)3()(xxxCT．例用二项式定理证明(1)1nn能被2n整除.解：因为1122221(1)1+CCCC11nnnnnnnnnnnnnnnn1122222+CCCnnnnnnnnnnnn2213242(+CCC1),nnnnnnnnnnn所以(1)1nn能被2n整除．练习用二项式定理证明55559能被8整除.解：55555556199（）55154545555C56C656195551545455555C56C568,6551545455555C56C8656中各项都能被8整除，因此55559能被8整除.练习求1122112C2C2(1)C2(1)nnnnnnnnn的值．解：原式即为(21)n的展开式，由0112211(2-1)=C2C2C2(1)C2(1)Cnnnnnnnnnnnnn，得1122112C2C2(1)C2(1)1nnnnnnnnn．题.逆向思维，需要构造一个恒等式，比较其二项展开式的系数而得.总结通过本节课的学习，我们复习了哪些知识和方法？在学习的过程中，又有怎样的体会？1.求二项式展开式的特定项，关键是用好二项式展开式的通项公式．通过回顾反思引领学生总结本节课所学习的基本知识和2.对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是二项式系数和问题的常用解法.3.利用二项式定理可以证明整除性问题，证明时要注意变形的技巧，通常利用构造法构造二项式以利于证明.解决问题的方法，提升学生反思的意识和能力作业1.求61(3)xx的展开式中的常数项.2.设常数0a，421axx展开式中3x的系数为6，求a的值.3.求10(23)xy的展开式中，奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和.通过课后作业巩固本节课所学习的内容